08 Метод виртуальных перемещений
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Металлический куб прикреплён в точке A к тяжёлой однородной верёвке, перекинутой через два лёгких блока. Другой конец верёвки закреплён на неподвижной опоре в точке B так, что точки A и B находятся на одинаковой высоте (см. рисунок). Силы и , приложенные к осям блоков, удерживают систему в равновесии. Определите длину верёвки . Линейная плотность верёвки (масса единицы длины) равна , а . Трения в осях блоков нет. Радиусом блоков по сравнению с длиной верёвки пренебречь нельзя.
(Всеросс., 2011, РЭ, 10)
Источники:
Так как трения в оси верхнего блока нет, а точки и находятся на одном уровне, то . Спроецируем на вертикальную ось внешние силы, действующие на тяжёлую верёвку и блоки (рис.):
откуда:
Критерии оценивания выполнения задачи | Баллы |
Записано условие равновесия для левой части системы | 4 |
Записано условие равновесия для правой части системы | 4 |
Найдена | 2 |
Максимальный балл | 10 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
С помощью массивного однородного каната, подвижного блока радиуса и неподвижного блока удерживают в покое
груз. Масса каната , его длина , масса груза с подвижным блоком . Расстояния по вертикали и
известны.
1) Найдите силу натяжения каната в точке .
2) Найдите прикладываемую к концу каната в точке силу .
Трением в осях блоков пренебречь.
(Всеросс., 2008, ОЭ, 11)
Источники:
Условие равновесия подвижного блока с грузом и куском каната :
От сюда сила натяжения в точке :
Причём . Сила натяжения в точке :
Для нахождения переместим мысленно кусок каната , сместив точку вниз на малое
расстояние . Работа всех сил над куском каната равна изменению потенциальной энергии этого
куска:
Итaк,
Критерии оценивания выполнения задачи | Баллы |
Записано условие равновесия подвижного блока с грузом и куском каната | 2 |
Определена сила натяжения | 2 |
Учтено равенство и найдено | 2 |
Применена теорема о потенциальной энергии | 2 |
Получено верное выражение для | 2 |
Максимальный балл | 10 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На гладком закреплённом шкиве радиусом висит массивный однородный канат массой и длиной
, прикреплённый к шкиву в точке (см. рисунок). Точка и горизонтальная ось шкива
находятся в одной вертикальной плоскости.
1) Найти силу натяжения каната в точке .
2) Найти силу натяжения каната в точке такой, что угол равен ().
(«Физтех», 2016, 11)
1) Из точки свисает , тогда масса свисающей части каната Из второго закона Ньютона:
2) Мысленно переместим участок АВ на малое расстояние :
Отсюда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В горах проведена линия электропередачи. Масса провода между двумя опорами , его длина . Расстояние по
вертикали между нижней точкой провода и местом крепления его к верхней опоре в точке равно . Длина
участка провода равна . Найдите максимальную силу натяжения провода.
(Всеросс., 1997, финал, 10)
Источники:
На участок провода действует силы натяжения нити и .
Переместим мысленно маленький участок провода вверх на малое расстояние вдоль кривой расположения провода.
Работа сил натяжения равна изменению потенциальной энергии участка провода, при перемещении его из точки в точку :
Отсюда
Запишем теперь условие равновесия для участка провода с массой (вектора , , образуют прямоугольный треугольник, достаточно записать теорему Пифагора для модулей векторов):
Пользуемся формулой разности квадратов:
Подставим теперь известный результат для разности сил натяжения в точках и :
Сложим это уравнение с уравнением для разности сил натяжения и получим:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Имеется цепочка, содержащая одинаковых невесомых звеньев скрепленных шарнирно. Пренебрегая трением, определить какое натяжение должна выдерживать нить, соединяющая точки 1 и 2, если к цепочке подвешен груз массы .
Представим, что груз опустился на расстояние . Из соображений симметрии понятно, что при этом большая диагональ каждого из звеньев удлинилась на . Следовательно, виртуальное удлинение между точками 1 и 2, равное виртуальному перемещению точки 2, также равно .
Запишем условие равенства нулю виртуальной работы:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Тонкое кольцо радиусом заряжено зарядом , равномерно распределённым по кольцу. Вдоль оси
кольца расположена очень длинная нить, начинающаяся в его центре и равномерно заряженная с
линейной плотностью заряда (см. рисунок). Найти модуль силы электростатического взаимодействия
нити с кольцом.
(МОШ, 2010, 10)
Источники:
Сдвинем нить на вверх.
Потенциал кольца в центре:
Изменение потенциальной энергии
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите силу взаимодействия непроводящей равномерно заряженной полусферы радиуса с бесконечно длинным равномерно заряженным тонким стержнем. Один конец стержня расположен в центре полусферы, а стержень направлен вдоль оси симметрии полусферы, как показано на рисунке. Поверхностная плотность зарядов на полусфере , линейная плотность зарядов на стержне , электрическая постоянная .
(Ломоносов, 2017)
Источники:
Потенциал точки, находящейся на расстоянии от точечного заряда , относительно бесконечно удалённой от него точки равен
Поскольку все точки поверхности полусферы находятся на одинаковом расстоянии от ее центра, и полусфера заряжена равномерно, потенциал точки , расположенной в центре полусферы, равен
где площадь полусферы. Таким образом, . Переместим стержень вдоль оси на небольшое расстояние . Так как стержень бесконечно длинный, это эквивалентно тому, что мы поместим на конец стержня, обращенный к полусфере, заряд . Энергия взаимодействия этого заряда с полусферой равна . Эта величина равна изменению энергии системы «полусфера - стержень». С другой стороны, изменение энергии системы равно работе силы взаимодействия полусферы со стержнем при перемещении стержня на расстояние , т.е. . Окончательно получаем
(Официальное решение Ломоносов)