Задачи №17 из ЕГЭ прошлых лет —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#90077

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. При этом $M$ — точка пересечения его диагоналей $BE$ и $AD.$ Известно, что $BCDM$ — параллелограмм.

а) Докажите, что две стороны пятиугольника равны.

б) Найдите $AB$ , если известно, что $BE = 12,$ $BC = 5,$ $AD = 9.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

а) Так как $BCDM$ — параллелограмм, то $CD ∥ BM$ и $CD =BM.$ Тогда $EBCD$ — трапеция, так как $CD ∥BE$ и $BE =BM + ME = CD + ME > CD.$

Вокруг трапеции $BCDE$ описана окружность, следовательно, она равнобедренная, в которой $BC = DE.$

Значит, в пятиугольнике $ABCDE$ равны стороны $BC$ и $DE.$

$PIC$

б) Аналогично пункту а) получаем, что $ABCD$ — равнобедренная трапеция, в которой $BC ∥AD,$ $AD > BC$ и $AB =CD.$

Так как по условию $BCDM$ — параллелограмм, то $DM = BC = 5.$ Тогда

AM = AD − DM =9 − 5= 4.

Пусть $AB =CD = BM = x.$ По свойству пересекающихся хорд $AD$ и $BE$ в окружности:

AM ⋅MD = BM ⋅ME 4⋅5 = x⋅(12 − x) x2− 12x+ 20= 0 (x − 2)[(x− 10)= 0 x= 2 x= 10

Заметим, что если $x = 2,$ то $ME = 10.$ Тогда в $△ MDE$ стороны будут равны 5, 5 и 10, что невозможно по неравенству треугольника.

Значит, $AB = x= 10.$

Ответ: б) 10

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#90089

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD =3,$ $BC =DE = 4.$

а) Докажите, что $AC = CE.$

б) Найдите длину диагонали $BE,$ если $AD = 6.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Равные хорды $AB$ и $CD$ стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть $∠ACB = ∠CAD.$ Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $AC,$ равны, следовательно, $BC ∥ AD.$

Равные хорды $BC$ и $DE$ стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть $∠BEC = ∠DCE.$ Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми $CD$ и $BE$ и секущей $CE,$ равны, следовательно, $CD ∥ BE.$

Пусть $M$ — точка пересечения диагоналей $AD$ и $BE.$ Тогда в четырехугольнике $BCDM$ известно, что $BC ∥ MD$ и $CD ∥BM,$ значит, $BCDM$ — параллелограмм. Следовательно, $MD = BC = 4$ и $BM = CD = 3.$

$PIC$

В четырехугольнике $ABCD$ мы знаем, что $BC ∥AD,$ $AD =AM + MD = AM + BC > BC$ и $AB = CD.$ Значит, $ABCD$ — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому $AC = BD.$

В четырехугольнике $BCDE$ мы знаем, что $CD ∥BE,$ $BE =BM + ME = CD + ME > CD$ и $BC = DE.$ Значит, $BCDE$ — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому $BD = CE.$

Таким образом, $AC =BD = CE.$

б) В пункте а) мы узнали, что $MD = 4,$ значит,

AM = AD − MD =6 − 4= 2.

Тогда по свойству пересекающихся хорд $AD$ и $BE$ в окружности:

AM ⋅MD = BM ⋅ME 2⋅4= 3⋅ME 8 ME = 3

$PIC$

Значит,

BE = BM + ME = 3+ 8 = 9+-8 = 17. 3 3 3

Ответ:

б) $17 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#90094

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD =4,$ $BC =DE = 6.$

а) Докажите, что $AC = CE.$

б) Найдите длину диагонали $BE,$ если $AD = 7.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Равные хорды $AB$ и $CD$ стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть $∠ACB = ∠CAD.$ Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $AC,$ равны, следовательно, $BC ∥ AD.$

Равные хорды $BC$ и $DE$ стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть $∠BEC = ∠DCE.$ Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми $CD$ и $BE$ и секущей $CE,$ равны, следовательно, $CD ∥ BE.$ Пусть $M$ — точка пересечения диагоналей $AD$ и $BE.$ Тогда в четырехугольнике $BCDM$ известно, что $BC ∥MD$ и $CD ∥ BM,$ значит, $BCDM$ — параллелограмм. Следовательно, $MD = BC = 6$ и $BM = CD = 4.$

$PIC$

В четырехугольнике $ABCD$ мы знаем, что $BC ∥AD,$ $AD =AM + MD = AM + BC > BC$ и $AB = CD.$ Значит, $ABCD$ — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому $AC = BD.$

В четырехугольнике $BCDE$ мы знаем, что $CD ∥BE,$ $BE =BM + ME = CD + ME > CD$ и $BC = DE.$ Значит, $BCDE$ — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому $BD = CE.$

Таким образом, $AC =BD = CE.$

б) В пункте а) мы узнали, что $MD = 6,$ значит,

AM = AD − MD =7 − 6= 1.

Тогда по свойству пересекающихся хорд $AD$ и $BE$ в окружности:

AM ⋅MD = BM ⋅ME 1⋅6= 4⋅ME 3 ME = 2

$PIC$

Значит,

3 BE = BM + ME = 4+ 2 =4 + 1,5= 5,5.

Ответ: б) 5,5

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#90098

Пятиугольник $ABCDE$ вписан в окружность. Известно, что $AB = CD =5,$ $BC =DE = 8.$

а) Докажите, что $AC = CE.$

б) Найдите длину диагонали $BE,$ если $AD = 10.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Равные хорды $AB$ и $CD$ стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть $∠ACB = ∠CAD.$ Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми $BC$ и $AD$ и секущей $AC,$ равны, следовательно, $BC ∥ AD.$

Равные хорды $BC$ и $DE$ стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть $∠BEC = ∠DCE.$ Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми $CD$ и $BE$ и секущей $CE,$ равны, следовательно, $CD ∥ BE.$

Пусть $M$ — точка пересечения диагоналей $AD$ и $BE.$ Тогда в четырехугольнике $BCDM$ известно, что $BC ∥ MD$ и $CD ∥BM,$ значит, $BCDM$ — параллелограмм. Следовательно, $MD = BC = 8$ и $BM = CD = 5.$

$PIC$

В четырехугольнике $ABCD$ мы знаем, что $BC ∥AD,$ $AD =AM + MD = AM + BC > BC$ и $AB = CD.$ Значит, $ABCD$ — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому $AC = BD.$

В четырехугольнике $BCDE$ мы знаем, что $CD ∥BE,$ $BE =BM + ME = CD + ME > CD$ и $BC = DE.$ Значит, $BCDE$ — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому $BD = CE.$

Таким образом, $AC =BD = CE.$

б) В пункте а) мы узнали, что $MD = 8,$ значит,

AM = AD − MD = 10− 8= 2.

Тогда по свойству пересекающихся хорд $AD$ и $BE$ в окружности:

AM ⋅MD = BM ⋅ME 2⋅8= 5⋅ME 16 ME = 5

$PIC$

Значит,

BE = BM + ME = 5 + 16-= 5+ 3,2 = 8,2. 5

Ответ: б) 8,2

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#90099

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $∠ANB.$

б) Найдите $NO,$ если $AB = 24,$ $AC = 10.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда $NO$ — биссектриса угла $ANB.$ Также центр $O$ лежит на диаметре $BC.$

Заметим, что $NA = NB$ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины $N$ также является и высотой, то есть $NO ⊥ AB.$

При этом $∠BAC = 90∘$ как опирающийся на диаметр, а значит, $AB ⊥ AC.$ Таким образом, $NO ⊥ AB$ и $AB ⊥ AC,$ следовательно, $NO ∥AC.$

$PIC$

б) Рассмотрим четырехугольник $ANBO.$ В нем $∘ ∠OAN = 90 = ∠OBN,$ так как радиусы $OA$ и $OB,$ проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным $NA$ и $NB$ соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника $ANBO$ равна $180∘,$ следовательно, $ANBO$ — вписанный. Тогда $∠ANO = ∠ABO$ как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Рассмотрим треугольники $ANO$ и $ABC.$ В них $∠NAO = 90∘ = ∠BAC$ и $∠ANO = ∠ABC.$ Значит, $△ ANO ∼ △ABC$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

NO- AO- AN- BC = AC = AB .

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC :$

2 2 2 BC = AC-+-AB--- BC = ∘ AC2 + AB2 ∘ --2---2- BC = 10√-+-24 BC = 676 BC = 26

Тогда так как $O$ — центр окружности, то

BC AO = BO = CO = -2- = 13.

Таким образом,

NO- = AO- BC AC NO = AO--⋅BC- AC 13-⋅26 NO = 10 NO = 33,8

Ответ: б) 33,8

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#90100

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $∠ANB.$

б) Найдите $NO,$ если $AB = 48,$ $AC = 14.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда $NO$ — биссектриса угла $ANB.$ Также центр $O$ лежит на диаметре $BC.$

Заметим, что $NA = NB$ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины $N$ также является и высотой, то есть $NO ⊥ AB.$

При этом $∠BAC = 90∘$ как опирающийся на диаметр, а значит, $AB ⊥ AC.$ Таким образом, $NO ⊥ AB$ и $AB ⊥ AC,$ следовательно, $NO ∥AC.$

$PIC$

б) Рассмотрим четырехугольник $ANBO.$ В нем $∘ ∠OAN = 90 = ∠OBN,$ так как радиусы $OA$ и $OB,$ проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным $NA$ и $NB$ соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника $ANBO$ равна $180∘,$ следовательно, $ANBO$ — вписанный. Тогда $∠ANO = ∠ABO$ как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Рассмотрим треугольники $ANO$ и $ABC.$ В них $∠NAO = 90∘ = ∠BAC$ и $∠ANO = ∠ABC.$ Значит, $△ ANO ∼ △ABC$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

NO- AO- AN- BC = AC = AB .

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC :$

2 2 2 BC = AC-+-AB--- BC = ∘ AC2 + AB2 ∘ --2---2- BC = 1√4-+-48 BC = 2500 BC = 50

Тогда так как $O$ — центр окружности, то

BC AO = BO = CO = -2- = 25.

Таким образом,

NO- = AO- BC AC NO = AO--⋅BC- AC 25-⋅50 NO = 14 625 NO = 7--

Ответ:

б) $625- 7$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#90101

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

а) Докажите, что прямая $AC$ параллельна биссектрисе угла $∠ANB.$

б) Найдите $NO,$ если $AB = 42,$ $AC = 40.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда $NO$ — биссектриса угла $ANB.$ Также центр $O$ лежит на диаметре $BC.$

Заметим, что $NA = NB$ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины $N$ также является и высотой, то есть $NO ⊥ AB.$

При этом $∠BAC = 90∘$ как опирающийся на диаметр, а значит, $AB ⊥ AC.$ Таким образом, $NO ⊥ AB$ и $AB ⊥ AC,$ следовательно, $NO ∥AC.$

$PIC$

б) Рассмотрим четырехугольник $ANBO.$ В нем $∘ ∠OAN = 90 = ∠OBN,$ так как радиусы $OA$ и $OB,$ проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным $NA$ и $NB$ соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника $ANBO$ равна $180∘,$ следовательно, $ANBO$ — вписанный. Тогда $∠ANO = ∠ABO$ как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Рассмотрим треугольники $ANO$ и $ABC.$ В них $∠NAO = 90∘ = ∠BAC$ и $∠ANO = ∠ABC.$ Значит, $△ ANO ∼ △ABC$ по двум углам. Запишем отношение подобия:

NO- AO- AN- BC = AC = AB .

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC :$

2 2 2 BC = AC-+-AB--- BC = ∘ AC2 + AB2 ∘ --2---2- BC = 4√0-+-42 BC = 3364 BC = 58

Тогда так как $O$ — центр окружности, то

BC AO = BO = CO = -2- = 29.

Таким образом,

NO- = AO- BC AC NO = AO--⋅BC- AC 29-⋅58 NO = 40 841 NO = 20-

Ответ:

б) $841- 20$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#90102

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

a) Докажите, что $∠ANB = 2∠ABC.$

б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB,$ если известно, что $AC = 10$ и $AB =22.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда $NO$ — биссектриса угла $ANB.$ Также центр $O$ лежит на диаметре $BC.$

Рассмотрим четырехугольник $ANBO.$ В нем $∘ ∠OAN = 90 = ∠OBN,$ так как радиусы $OA$ и $OB,$ проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным $NA$ и $NB$ соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника $ANBO$ равна $∘ 180 ,$ следовательно, $ANBO$ — вписанный. Тогда $∠ANO = ∠ABO$ как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Таким образом,

∠ANB = 2∠ANO = 2∠ABO =2∠ABC.

$PIC$

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ имеем:

AC 10 5 tg∠ABC = AB-= 22 = 11.

Пусть $H$ — точка пересечения $AB$ и $NO.$ Заметим, что $NA = NB$ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины $N$ также является высотой и медианой, то есть $∠AHN = 90∘$ и $AH = BH = 11.$

Тогда в прямоугольном треугольнике $ANH$ имеем:

AH-= tg∠ANH = tg∠ABC = -5 NH 11 11AH- 121 NH = 5 = 5 = 24,2.

Ответ: б) 24,2

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#90103

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

a) Докажите, что $∠ANB = 2∠ABC.$

б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB,$ если известно, что $AC = 12$ и $AB =52.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда $NO$ — биссектриса угла $ANB.$ Также центр $O$ лежит на диаметре $BC.$

Рассмотрим четырехугольник $ANBO.$ В нем $∘ ∠OAN = 90 = ∠OBN,$ так как радиусы $OA$ и $OB,$ проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным $NA$ и $NB$ соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника $ANBO$ равна $∘ 180 ,$ следовательно, $ANBO$ — вписанный. Тогда $∠ANO = ∠ABO$ как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Таким образом,

∠ANB = 2∠ANO = 2∠ABO =2∠ABC.

$PIC$

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ имеем:

AC 12 3 tg∠ABC = AB-= 52 = 13.

Пусть $H$ — точка пересечения $AB$ и $NO.$ Заметим, что $NA = NB$ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины $N$ также является высотой и медианой, то есть $∠AHN = 90∘$ и $AH = BH = 26.$

Тогда в прямоугольном треугольнике $ANH$ имеем:

AH-= tg∠ANH = tg∠ABC = -3 NH 13 13AH- 13⋅26 338 NH = 3 = 3 = 3 .

Ответ:

б) $338- 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#90104

Окружность с центром в точке $O$ касается сторон угла с вершиной $N$ в точках $A$ и $B.$ Отрезок $BC$ — диаметр этой окружности.

a) Докажите, что $∠ANB = 2∠ABC.$

б) Найдите расстояние от точки $N$ до прямой $AB,$ если известно, что $AC = 14$ и $AB =36.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда $NO$ — биссектриса угла $ANB.$ Также центр $O$ лежит на диаметре $BC.$

Рассмотрим четырехугольник $ANBO.$ В нем $∘ ∠OAN = 90 = ∠OBN,$ так как радиусы $OA$ и $OB,$ проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным $NA$ и $NB$ соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника $ANBO$ равна $∘ 180 ,$ следовательно, $ANBO$ — вписанный. Тогда $∠ANO = ∠ABO$ как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Таким образом,

∠ANB = 2∠ANO = 2∠ABO =2∠ABC.

$PIC$

б) В прямоугольном треугольнике $ABC$ имеем:

AC 14 7 tg∠ABC = AB-= 36 = 18.

Пусть $H$ — точка пересечения $AB$ и $NO.$ Заметим, что $NA = NB$ как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник $ANB$ — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины $N$ также является высотой и медианой, то есть $∠AHN = 90∘$ и $AH = BH = 18.$

Тогда в прямоугольном треугольнике $ANH$ имеем:

AH-= tg∠ANH = tg∠ABC = -7 NH 18 18AH- 18⋅18 324 NH = 7 = 7 = 7 .

Ответ:

б) $324- 7$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#90105

Периметр треугольника $ABC$ равен 36. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $EF$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC.$

а) Докажите, что $AC = 9.$

б) Найдите площадь треугольника $ABC,$ если $∘ ∠ACB = 90.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

а) Пусть $AB = 2c,$ $AC = 2b$ и $BC = 2a.$ По условию $E$ — середина $AB,$ поэтому $AE =BE = c.$ Также $F$ — середина $BC,$ поэтому $BF = CF = a.$ Тогда $EF$ — средняя линия треугольника $ABC,$ параллельная $AC,$ следовательно, $EF = b.$

$PIC$

По условию периметр треугольника $ABC$ равен 36, значит,

2a +2b+ 2c= 36 a+ b+ c= 18

С другой стороны, $EF$ касается вписанной окружности треугольника $ABC,$ поэтому четырехугольник $AEF C$ — описанный, следовательно, суммы его противоположных сторон равны:

AE + F C = EF + AC c+ a= b+ 2b a +c =3b

Таким образом,

a+ b+ c= 18 (a+ c)+b = 18 3b+ b= 18 2b= 9

Значит, $AC = 2b= 9.$

б) По условию $∘ ∠ACB = 90 .$ Тогда запишем теорему Пифагора для $△ ABC :$

AC2+ BC2 = AB2 92 +4a2 = 4c2 2 2 81 = 4c− 4a 81= (2c− 2a)(2c+ 2a)

В предыдущем пункте мы доказали, что

a+ c= 3b ⇒ 2a+ 2c= 6b= 27.

Следовательно,

81= (2c− 2a)(2c+ 2a) 81= (2c− 2a)⋅27 2c− 2a = 3

Имеем систему уравнений:

{2a+ 2c= 27 {2a = 12 2c− 2a= 3 ⇔ 2c= 15

$PIC$

Тогда можем найти площадь прямоугольного треугольника $ABC :$

1 1 SABC = 2 ⋅AC ⋅BC = 2 ⋅9 ⋅12= 54.

Ответ: б) 54

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#90106

Периметр треугольника $ABC$ равен 24. Точки $E$ и $F$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Отрезок $EF$ касается окружности, вписанной в треугольник $ABC.$

а) Докажите, что $AC = 6.$

б) Найдите площадь треугольника $ABC,$ если $∘ ∠ACB = 90.$

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

а) Пусть $AB = 2c,$ $AC = 2b$ и $BC = 2a.$ По условию $E$ — середина $AB,$ поэтому $AE =BE = c.$ Также $F$ — середина $BC,$ поэтому $BF = CF = a.$ Тогда $EF$ — средняя линия треугольника $ABC,$ параллельная $AC,$ следовательно, $EF = b.$

$PIC$

По условию периметр треугольника $ABC$ равен 24, значит,

2a +2b+ 2c= 24 a+ b+ c= 12

С другой стороны, $EF$ касается вписанной окружности треугольника $ABC,$ поэтому четырехугольник $AEF C$ — описанный, следовательно, суммы его противоположных сторон равны:

AE + F C = EF + AC c+ a= b+ 2b a +c =3b

Таким образом,

a+ b+ c= 12 (a+ c)+b = 12 3b+ b= 12 2b= 6

Значит, $AC = 2b= 6.$

б) По условию $∘ ∠ACB = 90 .$ Тогда запишем теорему Пифагора для $△ ABC :$

AC2+ BC2 = AB2 62 +4a2 = 4c2 2 2 36 = 4c− 4a 36= (2c− 2a)(2c+ 2a)

В предыдущем пункте мы доказали, что

a+ c= 3b ⇒ 2a+ 2c= 6b= 18.

Следовательно,

36= (2c− 2a)(2c+ 2a) 36= (2c− 2a)⋅18 2c− 2a = 2

Имеем систему уравнений:

{2a+ 2c= 18 {2a = 8 2c− 2a= 2 ⇔ 2c= 10

$PIC$

Тогда можем найти площадь прямоугольного треугольника $ABC :$

1 1 SABC = 2 ⋅AC ⋅BC = 2 ⋅6⋅8= 24.

Ответ: б) 24

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#88578

В треугольнике $ABC$ угол $ABC$ равен $60∘.$ Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны $AC$ в точке $M.$

а) Докажите, что отрезок $BM$ не больше утроенного радиуса вписанной в треугольник окружности.

б) Найдите $sin∠BMC,$ если известно, что отрезок $BM$ в 2,8 раза больше радиуса вписанной в треугольник окружности.

Источники: ЕГЭ 2024, резерв досрочной волны

Показать ответ и решение

а) Пусть $O$ — центр окружности, $N$ — точка касания со стороной $BC.$ Тогда $BO$ — отрезок биссектрисы угла $ABC,$ $OM = ON = r$ — радиусы. Следовательно, $∠OBN = 30∘,$ откуда $BO =2ON = 2r.$ Если $O ∕∈ BM,$ то по неравенству треугольника

BM < BO +OM = 2r+ r = 3r

Если $O ∈ BM,$ то

BM = BO + OM =3r

Следовательно, по итогу $BM ≤ 3r.$ Что и требовалось доказать.

$PIC$

б) Рассмотрим $△BOM :$ $BM = 2,8r,$ $BO = 2r,$ $OM = r.$ Тогда по теореме косинусов для этого треугольника имеем

BM2 + MO2 − BO2 121 cos∠BMO = ----2BM--⋅MO------= 140

Тогда

sin∠BMC = sin(90∘+ ∠BMO )= cos∠BMO = 121 140

Ответ:

б) $121- 140$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#83774

Дан остроугольный треугольник $ABC.$ В нём провели высоты $BB1$ и $CC1,$ которые пересеклись в точке $H.$

а) Докажите, что угол $BAH$ равен углу $BB1C1.$

б) Найдите расстояние от центра описанной окружности треугольника $ABC$ до его стороны $BC,$ если известно, что $B1C1 = 18,$ а $∠BAC = 30∘.$

Источники: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Рассмотрим четырёхугольник $AB1HC1.$ Заметим, что он вписанный, так как сумма его противоположных углов равна

∘ ∘ ∘ ∠AB1H +∠AC1H = 90 + 90 = 180 .

$PIC$

Проведем его диагонали $AH$ и $B1C1.$ Так как $AB1HC1$ — вписанный, то углы, опирающиеся на его сторону $HC , 1$ равны, то есть

∠C1AH = ∠HB1C1 ⇔ ∠BAH =∠BB1C1.

Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что $△ AB1C1 ∼ △ABC$ с коэффициентом $k = cos∠A.$ Докажем это.

Заметим, что четырехугольник $BC1B1C$ — вписанный, так как углы, опирающиеся на его сторону $BC,$ равны

∘ ∠BC1C = 90 = ∠BB1C.

Следовательно, $∠CBC =∠AB C 1 1 1$ по свойству вписанного четырехугольника. Угол $A$ общий, значит, $△ AB1C1 ∼ △ABC$ по двум углам с коэффициентом

AB1 ∘ √3 k = AB--= cos∠A = cos30 = -2-.

$PIC$

Тогда запишем отношение подобия:

B1C1-= cos∠A ⇒ BC = -B1C1∘. BC cos30

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC.$ Тогда центральный угол $BOC$ в два раза больше вписанного угла $BAC,$ то есть

∘ ∘ ∠BOC = 2∠BAC = 2 ⋅30 = 60 .

Значит, $△ BOC$ равносторонний, так как в нем есть угол в $60∘$ и $BO =CO$ как радиусы описанной окружности треугольника $ABC.$ Таким образом,

BO = CO = BC.

Тогда расстояние $ρ$ от точки $O$ до $BC$ равно высоте равностороннего треугольника, то есть

√3 B1C1 √3 ρ= hBOC = BC ⋅-2-= -√3--⋅-2-= B1C1 =18. 2

Ответ:

б) 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#63299

Прямая, перпендикулярная стороне $AD$ ромба $ABCD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ а диагональ $BD$ в точке $N,$ причем $AM :MC =1 :2,$ $BN :ND = 1 :3.$

а) Докажите, что $1 cos∠BAD = 5.$

б) Найдите площадь ромба, если $MN = 5.$

Показать ответ и решение

а) Пусть прямая из условия пересекает $AD$ в точке $E,$ а $BC$ — в точке $F;$ пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Опустим высоту $BH$ на $AD.$

Заметим, что $AO = OC.$ Тогда $AM :OM = 2:1.$

Так как $BN :ND = 1:3,$ а $BO = OD,$ то $N$ — середина $BO.$

Запишем теорему Менелая для треугольника $AOD$ и прямой $NE :$

OM--⋅ AE-⋅ DN-= 1 ⇒ DE-= OM--⋅ DN-= 1 ⋅ 3= 3 MA ED NO AE MA NO 2 1 2

По теореме Фалеса для угла $BDH$ и параллельных прямых $NE$ и $BH$ (обе эти прямые перпендикулярны $AD$ )

DE DN 3 EH-= NB--= 1.

Таким образом, $EH$ в два раза меньше $EA.$ Значит, $AD = 5AH.$ Но в ромбе $AB = AD,$ тогда

AH 1 cos∠BAD = AB-= 5.

$PIC$

б) Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому

∠OAD = 1∠BAD. 2

Прямоугольные треугольники $AOD$ и $NED$ подобны по двум углам: прямому и общему. Тогда

1 ∠END = ∠OAD = 2∠BAD.

Значит, так как $∘ ∠OAD < 90 ,$ то по формуле двойного угла

∘ cos∠BAD--+-1 ∘ --- cos∠OAD = -----2------= 0,6.

Тогда

sin∠OAD = ∘1-−-cos2∠OAD--= ∘0,4.

Значит,

NO = MN ∘0,6, MO = MN ∘0,4.

Мы знаем, что $BD = 4NO,$ $AC = 6MO.$ Тогда

1 ∘--- ∘ --- ∘------ √ - SABCD = 2BD ⋅AC = 12NO ⋅MO =12⋅5 0,6⋅5 0,4 =12⋅5⋅5⋅ 0,6⋅0,4 =60 6

Ответ:

б) $60√6-$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#63300

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC.$ Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O.$ Точки $M$ и $N$ отмечены на боковых сторонах $AB$ и $CD$ соответственно. Известно, что $AM = MO,$ $CN = NO.$

а) Докажите, что точки $M,$ $N$ и $O$ лежат на одной прямой.

б) Найдите $AM :MB,$ если известно, что $AO = OC$ и $BC :AD = 1:7.$

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Сибирь

Показать ответ и решение

а) Так как $AO$ — биссектриса угла $BAD,$ то $∠BAO = ∠OAD.$ По условию $AM = MO,$ значит, треугольник $AMO$ — равнобедренный. Тогда $∠MAO =∠MOA.$ Таким образом,

∠DAO = ∠BAO = ∠MOA

Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми $MO$ и $AD$ и секущей $AO,$ равны. Значит, $MO ∥AD.$

$PIC$

Так как $CO$ — биссектриса угла $BCD,$ то $∠BCO = ∠OCD.$ По условию $CN = NO,$ значит, треугольник $CNO$ — равнобедренный. Тогда $∠NCO = ∠NOC.$ Таким образом,

∠BCO = ∠DCO = ∠NOC

Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми $NO$ и $BC$ и секущей $CO,$ равны. Значит, $NO ∥BC.$

Тогда, так как $ABCD$ — трапеция, то $MO ∥ NO.$ Поскольку эти прямые проходят через точку $O,$ то точки $M,$ $N$ и $O$ лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.

б) Заметим, что

∠BAD +∠BCD = 180∘ ∠OAD + ∠OCB = 90∘

Опустим из точки $O$ перпендикуляры $OP$ и $OQ$ на прямые $AD$ и $BC$ соответственно. Тогда $OP ⊥ MN.$ Значит,

∠P OA = ∠P OM − ∠MOA = = 90∘− ∠OAD = ∠OCB

Тогда прямоугольные треугольники $AOP$ и $OCQ$ равны по гипотенузе и острому углу, так как $AO = CO$ и $∠P OA = ∠OCQ.$ Тогда $AP = OQ,$ $OP = CQ.$

По пункту а) имеем $MN ∥AD$ и $MN ∥BC.$ Тогда по теореме Фалеса для прямых $AB$ и $P Q$ и секущих $BQ,$ $MO$ и $AP :$

AM P O PO MB--= OQ- = AP-= tg∠P AO

$PIC$

Найдем величину

tg2∠P AO = tg∠BAD = tg∠CDA

Пусть $CH$ — высота трапеции. Тогда

-CH- tg∠CDA = DH

Пусть $AD = 7a,$ $BC = a.$ Так как трапеция $ABCD$ — равнобедренная, то

AD − BC 7a− a DH = ----2--- = --2--= 3a AH = 4a

Заметим, что $P QCH$ — прямоугольник, тогда $P H = CQ.$ Значит, получаем

CH = PQ = PO + OQ = CQ + AP = =P H + AP = AH = 4a

Тогда имеем:

tg∠CDA = CH--= 4a = 4 DH 3a 3

Следовательно,

⌊ 2tg∠P AO 4 tg∠P AO = 1 1−-tg2∠PAO--= 3 ⇒ ⌈ 2 tg∠P AO = −2

Так как угол $∠P AO$ — острый, то получаем искомое отношение

AM :MB = 1:2

Ответ:

б) 1 : 2

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#63301

Дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC.$ Биссектрисы углов $BAD$ и $BCD$ пересекаются в точке $O.$ Через точку $O$ провели прямую, параллельную основаниям, которая пересекла боковые стороны $AB$ и $CD$ в точках $M$ и $N$ соответственно.

а) Докажите, что $MN = AB.$

б) Найдите $BC :AD,$ если известно, что $AO = OC$ и $AM :MB = 2:3.$

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Татарстан

Показать ответ и решение

а) По условию $MN ∥BC.$ Тогда $MBCN$ — трапеция. С другой стороны, трапеция $ABCD$ — равнобедренная, тогда

∠MBC = ∠ABC =∠DCB = ∠NCB

Значит, $MBCN$ — равнобедренная трапеция, то есть $MB =CN.$

Также из параллельности $MN$ и $BC$ следует, что накрест лежащие углы $BCO$ и $NOC,$ образованные секущей $CO,$ равны. Значит,

∠NOC = ∠BCO = ∠NCO.

$PIC$

Таким образом, в треугольнике $CNO$ равны углы при стороне $CO.$ Значит, он равнобедренный и $CN =NO.$

Из параллельности $MN$ и $AD$ следует, что накрест лежащие углы $DAO$ и $MOA,$ образованные секущей $AO,$ равны. Значит,

∠MOA = ∠DAO = ∠MAO.

Таким образом, в треугольнике $AMO$ равны углы при стороне $AO.$ Значит, он равнобедренный и $AM = MO.$

Таким образом,

AB = AM + MB = AM + CN = MO + NO = MN.

б) Заметим, что

∘ ∘ ∠BAD + ∠BCD = 180 ⇒ ∠OAD + ∠OCB = 90 .

Опустим из точки $O$ перпендикуляры $OP$ и $OQ$ на $AD$ и $BC$ соответственно. Тогда $OP ⊥ MN.$ Значит,

∘ ∠P OA = ∠P OM − ∠MOA = 90 − ∠OAD = ∠OCB

Тогда прямоугольные треугольники $AOP$ и $OCQ$ равны по гипотенузе и острому углу, так как $AO = CO$ и $∠P OA = ∠OCQ.$ Тогда $AP = OQ,$ $OP = CQ.$

По пункту а) $MN ∥AD$ и $MN ∥BC.$ Тогда по теореме Фалеса для прямых $AB$ и $P Q$ и секущих $BQ,$ $MO$ и $AP :$

2 = AM--= PO-= P-O = tg ∠PAO. 3 MB OQ AP

Значит, $∠PAO < 45∘.$ Таким образом, $∠BAD < 90∘.$ Тогда $AD$ — большее основание.

$PIC$

Найдем $tg2∠PAO =tg∠BAD = tg∠CDA :$

-2tg∠P-AO--- --43-- 4 9 12 tg2∠P AO = 1− tg2∠PAO = 1− 49 = 3 ⋅5 = 5

Таким образом,

12 tg∠CDA = -5

Пусть $P O =2a,$ $OQ = 3a.$ Тогда $AP = OQ =3a,$ $CQ = PO = 2a,$ $P Q= 5a.$ При этом $PQ$ — высота трапеции. Пусть $CH$ — высота трапеции из точки $C.$ Тогда $CH = PQ = 5a.$

Из прямоугольного треугольника $CHD :$

12 -CH- 5 = tg ∠CDA = tg∠CDH = DH .

Значит,

5CH 25a DH = -12- = 12-.

Заметим, что $P QCH$ — прямоугольник, тогда $P H = CQ.$ Значит,

AH = AP +P H = 3a+ 2a= 5a.

Таким образом,

25a- 85a AD = AH + DH =5a + 12 = 12 .

Так как трапеция $ABCD$ — равнобедренная, то

AD − BC DH = ---2----

Следовательно,

( 25a ) 25a 25a 60a− 25a 35a BC = AD − 2DH = 5a + 12- − 2⋅-12 = 5a− 12-= ---12--- = 12-

Тогда

35a BC- = -12-= 35-= -7 AD 8512a 85 17

Ответ:

б) $7- 17$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#63302

Дан равносторонний треугольник $ABC.$ На его стороне $AC$ отмечена точка $M.$ Серединный перпендикуляр к отрезку $BM$ пересекает стороны $AB$ и $BC$ в точках $E$ и $K$ соответственно.

а) Докажите, что угол $AEM$ равен углу $CMK.$

б) Найдите отношение площадей треугольников $AEM$ и $CMK,$ если $AM :MC = 1:4.$

Показать ответ и решение

а) Треугольник $ABC$ — равносторонний, поэтому все его углы равны $∘ 60 .$

Пусть $∠EBM = α.$ Тогда $∘ ∠KBM = 60 − α.$ Точки $E$ и $K$ лежат на серединном перпендикуляре к $BM,$ поэтому $BE = ME$ и $BK = MK.$

$PIC$

Таким образом, треугольники $BEM$ и $BKM$ — равнобедренные. Тогда $∠EMB = ∠EBM = α,$ $∠KMB = ∠KBM = 60∘− α.$

Заметим, что $∠AEM$ — внешний для треугольника $BEM,$ поэтому

∠AEM = ∠EBM + ∠EMB = 2α.

Аналогично $∠CKM$ — внешний для треугольника $BKM,$ поэтому

∠CKM = ∠KBM + ∠KMB = 120∘ − 2α.

Тогда по сумме углов треугольника $CKM$

∠CMK =180∘− ∠KCM − ∠CKM = ∘ ∘ ∘ = 180 − 60 − (120 − 2α )= 2α= ∠AEM.

б) Заметим, что треугольники $AEM$ и $CMK$ подобны по двум углам, так как $∠AEM = ∠CMK$ по пункту а), $∠MAE = ∠KCM = 60∘.$ Тогда

SAEM-= p2, где p = AE-= EM-= AM--. SCMK MC MK CK

Пусть $AB =BC = AC = 5x.$ Тогда, так как $AM :MC = 1:4,$ то получаем $AM = x,$ $MC = 4x.$

Пусть $BE = kx.$ Тогда $EM = kx,$ $AE = (5− k)x.$

$PIC$

Запишем теорему косинусов для треугольника $AEM :$

EM2 = AE2 +AM2 − 2 ⋅AE ⋅AM ⋅cos∠EAM; 2 2 22 2 ∘ k x = (5− k)x +x − 2 ⋅(5− k)x⋅x⋅cos60 ; k2x2 = 25x2+ k2x2 − 10kx2+ x2− 2⋅(5x2− kx2) ⋅ 1; 2 0 = 26x2− 10kx2− 5x2+ kx2; 2 2 9kx = 21x ; k = 7 3

Тогда $7x BE = 3 ,$ а $8x- AE = (5 − k)x= 3 .$

Таким образом,

( )2 ( 8x)2 ( )2 SAEM- = p2 = -AE- = 3- = 2 = 4. SCMK MC 4x 3 9

Ответ:

б) $4 9$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#63728

Прямая, перпендикулярная стороне $AD$ ромба $ABCD,$ пересекает его диагональ $AC$ в точке $M,$ а диагональ $BD$ — в точке $N.$ При этом $AM :MC =1 :2,$ $BN :ND = 1 :3.$

а) Докажите, что $1 cos∠BAD = 5.$

б) Найдите площадь ромба, если $MN = 5√2.$

Показать ответ и решение

а) Пусть прямая из условия пересекает $AD$ в точке $E,$ а $BC$ — в точке $F.$ Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Опустим высоту $BH$ на $AD.$

Заметим, что $AO = OC.$ Тогда $AM :OM = 2:1.$

Так как $BN :ND = 1:3,$ а $BO = OD,$ то $N$ — середина $BO.$

Запишем теорему Менелая для треугольника $AOD$ и прямой $NE :$

OM--⋅ AE ⋅ DN-=1 MA ED NO DE- = OM--⋅ DN-= 1⋅ 3 = 3 AE MA NO 2 1 2

Прямые $NE$ и $BH$ перпендикулярны прямой $AD,$ а значит параллельны. Тогда по теореме Фалеса для угла $BDH :$

DE DN 3 EH- = NB-= 1

Таким образом, $EH$ в два раза меньше $EA.$ Значит, $AD = 5AH.$ Но в ромбе $AB = AD,$ тогда имеем:

cos∠BAD = AH- = 1 AB 5

$PIC$

б) Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому

∠OAD = 1∠BAD 2

Прямоугольные треугольники $AOD$ и $NED$ подобны по двум углам: прямому и общему. Тогда имеем:

1 ∠END = ∠OAD = 2∠BAD

Значит, так как $∠OAD < 90∘,$ то по формуле косинуса двойного угла

∘------------ cos∠OAD = cos∠BAD--+-1= ∘0,6- 2

Отсюда получаем

------------ sin∠OAD = ∘ 1− cos2 ∠OAD = ∘0,4-

Значит,

NO = MN ∘0,6, MO = MN ∘0,4-

Мы знаем, что

BD = 4NO, AC =6MO

Тогда окончательно имеем:

1 SABCD = 2BD ⋅AC = 12NO ⋅MO = =12 ⋅5√2-⋅∘0,6⋅5√2 ⋅∘0,4= √- √ - ∘------ √ - = 12⋅5 2⋅5 2⋅ 0,6⋅0,4 = 120 6

Ответ:

б) $√ - 120 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#63729

Прямая, перпендикулярная стороне $BC$ ромба $ABCD,$ пересекает его диагональ в точке $M,$ а диагональ $BD$ в точке $N,$ причем $AM :MC = 1 :2,$ $BN :ND = 1 :3.$

а) Докажите, что прямая $MN$ делит сторону ромба $BC$ в отношении $1 :4.$

б) Найдите сторону ромба, если $√ - MN = 6.$

Источники: ЕГЭ 2023, основная волна, Адыгея

Показать ответ и решение

а) Пусть прямая из условия пересекает $AD$ в точке $E,$ а $BC$ — в точке $F;$ пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба. Опустим высоту $BH$ на $AD.$

Заметим, что $AO = OC.$ Тогда $AM :OM = 2:1.$

Так как $BN :ND = 1:3,$ а $BO = OD,$ то $N$ — середина $BO.$

Запишем теорему Менелая для треугольника $AOD$ и прямой $NE :$

OM--⋅ AE-⋅ DN-= 1 ⇒ DE-= OM--⋅ DN-= 1 ⋅ 3= 3 MA ED NO AE MA NO 2 1 2

По теореме Фалеса для угла $BDH$ и параллельных прямых $NE$ и $BH$ (обе эти прямые перпендикулярны $AD$ )

DE DN 3 EH-= NB--= 1.

$PIC$

Таким образом, $EH$ в два раза меньше $EA.$ Значит, $AH =EH.$ Значит, $AD =5HE.$

Четырехугольник $HBF E$ — прямоугольник. Тогда $BF = HE,$ следовательно,

BF- = HE-= 1 ⇒ BF- = 1. BC AD 5 F C 4

б) Заметим, что

AH- AH- 1 cos∠BAD = AB = AD = 5 .

Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому

∠OAD = 1∠BAD. 2

Прямоугольные треугольники $AOD$ и $NED$ подобны по двум углам: прямому и общему. Тогда

1 ∠END = ∠OAD = 2∠BAD.

Значит, так как $∘ ∠OAD < 90 ,$ то по формуле косинуса двойного угла

∘ ------------ cos∠BAD--+-1 ∘ --- cos∠OAD = 2 = 0,6.

Тогда

NO = MN cos∠ONM = √6 ⋅∘0,6-= -6√10-= 3√10. 10 5

Значит,

12√ -- BD = 4NO = -5 10

Пусть $AB =x.$ Тогда по теореме косинусов для треугольника $ABD :$

BD2 = AB2 + AD2 − 2⋅AB ⋅AD ⋅cos∠BAD 1440- 2 2 1 25 = 2x − 2 ⋅x ⋅5 288 =10x2− 2x2 288= 8x2 2 36= x x =6

Таким образом, сторона ромба равна 6.

Ответ: б) 6

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3