05 Уравнение состояния идеального газа
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Идеальный газ участвует в процессе, в котором его температура изменяется от до , а график зависимости давления от температуры — парабола
Источники:
Плотность идеального газа можно связать с давлением и температурой с помощью уравнения Менделеева-Клапейрона:
Следовательно, в этом процессе
Чтобы проанализировать функцию занесём в скобки и вынесем :
Минимум выражения в скобках (из неравества о средних) достигается при :
Т.к. соотвествует значению , которое входит в диапазон , можем найти минимальную плотность:
Плотность в конце процесса вычислим, используя конечную температуру:
Имеем:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Идеальный газ в количестве моль участвует в процессе , изображённом на рисунке в координатах , где — плотность газа, а — его температура. При какой температуре давление газа на меньше максимального? Температура известна.
(Всеросс., 2010, РЭ, 10 )
Источники:
Запишем уравнение Менделеева-Клапейрона в виде:
Зависимость – линейная, следовательно
Нулевому значению соотвествует :
Если обозначить , то уравнение примет вид:
Подставим в выражение для давления:
Исследуем на максимум выражение (2). Это квадратный многочлен относительно , представляющий из себя уравнение параболы, ветви которой направлены вниз, и его значение достигает максимума в вершине параболы:
Отсюда находим максимальное давление:
С учётом (3) уравнение (2) принимает вид:
В задаче требуется найти условия, когда :
Таким образом, условию задачи удовлетворяют два значения температуры:
Критерии оценивания выполнения задачи | Баллы |
Использовано уравнение Менделеева-Клапейрона | 2 |
Найдено уравнение процесса | 2 |
Верно составлено квадратное уравнение относительно | 2 |
Верно определены координаты точки, соответствующей вершине параболы | 2 |
Представлен правильный ответ | 2 |
Максимальный балл | 10 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Один моль идеального газа переводят из состояния с известным давлением и известным объёмом в состояние с
давлением и объёмом . Зависимость в этом процессе является линейной функцией
(рис.). При каких значениях конечного объёма температура в данном процессе изменяется монотонно?
(Всеросс., 2012, финал, 10)
Источники:
Зависимость – линейная, с-но:
где – модуль угл. коэффициента прямой. Из графика:
Следовательно
Поэтому:
Выразим температуру из уравнения Менделеева – Клапейрона:
И подставим в неё из выражения :
Выходит, что:
График зависимости – парабола ветвями вниз с вершиной :
По условию температура должна меняться монотонно. Возможны два случая: возрастание или убывание температуры в течение всего процесса. Рассмотрим случай, когда температура возрастает. Это означает, что объёмы и принадлежат отрезку :
Откуда следует, что:
При убывании температуры объёмы и принадлежат отрезку
Окончательный ответ:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Два одинаковых вертикальных цилиндра соединены сверху и снизу трубками пренебрежимо малого объёма. В верхней трубке имеется кран , который исходно открыт. В цилиндры налита жидкость плотности . Оставшийся объём цилиндров высоты заполнен газом с давлением и комнатной температурой . При неизменной температуре газа в левом цилиндре газ в правом нагрели до температуры и закрыли вентиль. Нагреватель отключили. Когда воздух в правом цилиндре остыл до комнатной температуры, разность уровней жидкости в цилиндрах стала . Найдите температуру , если в левом цилиндре температура газа всё время оставалась комнатной. Ускорение свободного падения считать равным .
(Всеросс., 2018, РЭ, 10 )
Источники:
Пусть сечение цилиндров, полное число молей газа, газовая постоянная. Из уравнения состояния идеального газа для начальной ситуации имеем:
При открытом вентиле давление газа слева и справа одинаково, обозначим его . Из уравнения состояния в применении к каждому цилиндру при открытом вентиле и разных температурах имеем:
где и число молей слева и справа. Так как суммарное число молей неизменно, то . Отсюда выражаем давление
После закрытия вентиля число молей газа слева и справа остаются прежними. В конце температура везде To, а объёмы газа слева и справа соответственно и . Разница давлений газа при перепаде уровней . Выразим давления через уравнение состояния и предыдущие соотношения:
Подставив получим уравнение для искомой :
Откуда
Критерии оценивания выполнения задачи | Баллы |
Правильно записаны уравнения состояния для каждого цилиндра | 2 |
Сказано о постоянстве кол-ва вещества и о равенстве давлений слева и справа | 2 |
Получена правильная зависимость при открытом кране | 2 |
Верно записаны параметры системы после закрытия крана | 2 |
Представлен правильный ответ | 2 |
Максимальный балл | 10 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сосуд Мариотта представляет собой герметически закрытый цилиндрический сосуд с площадью дна , в верхнюю
крышку которого вставлена открытая с обоих концов тонкая трубка (рис.). Нижний конец трубки расположен на
расстоянии от верхней крышки сосуда. Около дна сосуда в его боковую стенку вставлена горизонтальная трубка с
краном. В начальный момент времени высота уровня воды относительно нижнего конца вертикальной трубки равна , а
сама эта трубка полностью заполнена воздухом. Кран закрыт. В момент времени кран открывают, и вода начинает
вытекать из сосуда, а пузырьки воздуха проникать в сосуд через вертикальную трубку. Расход вытекающей жидкости
равен (объём в единицу времени). Температура сосуда , атмосферное давление , молярная масса воздуха
известны и остаются постоянными. Давлением насыщенных паров воды пренебречь. Считайте, что в ходе всего
эксперимента уровень жидкости в сосуде не опустился ниже конца вертикальной трубки. Плотность воды равна
.
1) Чему равна масса воздуха в сосуде над водой в начальный момент времени?
2) Чему равна скорость изменения массы воздуха в сосуде в начальный момент времени?
3) С какой скоростью изменяется (скорость изменения массы воздуха в сосуде) в процессе вытекания воды из него?
(Всеросс., 2017, РЭ, 10)
Источники:
Пусть – секундный расход воды, вытекающей из сосуда Мариотта (рис.). Скорость опускания уровня воды в сосуде .
Таким образом, объем воздуха над водой в сосуде изменяется со временем по закону:
а уровень воды :
Давление воздуха над поверхностью воды изменяется со временем по закону:
Найдём массу воздуха над водой:
Масса воздуха в сосуде над водой в начальный момент времени:
Скорость изменения массы воздуха в сосуде в начальный момент времени:
Скорость изменения (скорости изменения массы воздуха в сосуде):
(Официальное решение ВсОШ)
Критерии оценивания выполнения задачи | Баллы |
Найдены объем воздуха над водой и уровень воды в сосуде | 2 |
Найдено давление воздуха над поверхностью воды | 2 |
Найдено выражение для массы воздуха над водой и её значение в момент | 2 |
Найдена скорость изменения массы воздуха в сосуде | 2 |
Найдена скорость изменения скорости изменения массы воздуха в сосуде | 2 |
Максимальный балл | 10 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Кислород находится в специальном устройстве, которое обеспечивает ограничение на возможные значения объёма, давления , температуры и массы газа. Все возможные значения , и , будучи нанесёнными на трёхмерную диаграмму (см. рис.), лежат внутри цилиндрической поверхности, ограниченной диапазонами изменения давления от 100 кПа до 300 кПа, массы — от 1 г до 3 г и температуры — от 100 К до 300 К. Найдите минимальное и максимальное значение, которое может принимать объём газа, и укажите значения , и , которые соответствуют этим состояниям. Молярная масса кислорода г/моль.
Источники:
Из уравнения Клапейрона–Мендлеева:
где – количество вещеста, – молярная масса газа.
следует, что максимальному объему соответствует максимальное произведение и при
минимальном давлении , а минимальному – минимальное произведение и при
максимальном давлении .
Пусть К, а г. Тогда можно записать уравнение окружности для основания
цилиндра:
Т.к. и входят в уравнение равноправно (в виде произведения), то минимум и максимум будет достигнут в тех точках, где они численно равны т.е. в точках лежащих на биссектрисе прямого угла из начала координат:
Подставим это условие в уравнение окружности:
Найдем для каждого случая массу
Подставляем наши величины в (1):
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Водолазный колокол в форме цилиндра без дна, частично заполненный воздухом, находится под водой. Чтобы колокол не всплывал, его прикрепили тросом к дну водоёма. На верёвке к колоколу привязан груз, находящийся в воде (см. рисунок). Площадь горизонтального сечения колокола объём воздуха в нём при давлении . Когда груз в колоколе поднимают над уровнем воды, давление возрастает на , при этом трос остаётся натянутым. Найдите изменение натяжения троса и верёвки. Плотность воды , ускорение свободного падения . Воздух в колоколе подчиняется закону Бойля-Мариотта: , где — давление, — объём воздуха в колоколе.
(Всеросс., 2014, финал, 9 )
Источники:
Чтобы вычислить изменение объёма воздуха в колоколе, воспользуемся законом Бойля-Мариотта: . Из него следует, что объём воздуха уменьшится на:
Рассмотрим равновесие системы «колокол груз столб воды внутри колокола». На систему действуют следующие внешние силы: сила тяжести, сила натяжения троса и силы гидростатического давления на верхнюю и нижнюю поверхность системы (не все силы показаны на рисунке).
После поднятия груза объём воздуха уменьшится, освобождённый объём займет вода массой . При этом из всех внешних сил, действующих на систему, изменятся только сила натяжения троса и сила тяжести, действующая на воду внутри колокола. Таким образом, сила натяжения троса уменьшится на
На колокол действуют сила тяжести, сила гидростатического давления, сила давления воздуха и силы натяжений троса и верёвки. Из них при поднятии груза изменяются силы натяжений и сила давления воздуха. Силы натяжения направлены вниз, сила давления воздуха — вверх. Давление увеличивается, сила натяжения троса уменьшается, значит, сила натяжения верёвки увеличивается, причём:
(Официальное решение ВсОШ)