2.01 Составление таблицы истинности

В таблице строк.

1. Заметим, что функция истинна, когда обе скобки истинны.

2. Первая скобка ложна, когда а хотя бы одна из переменных равна . Используя этот факт отметим, что пятая, шестая и седьмая строчки таблицы истинности принимают значение .

3. Вторая скобка ложна, когда Следовательно, третья строчка принимает значение .

4. Значит в остальных строчках таблицы истинности функция истинна. В таком случае сумма значений равна .

В таблице строк.

1. Импликация ложна в том случае, если первая скобка принимает значение 1, а вторая значение 0. Следовательно, для этого Этому условию подходят первая, третья, шестая и восьмая строчки.

2. Для истинности первой скобки хотя бы одна из переменных должна быть равна 1. Используя этот факт, мы оставляем третью, шестую и восьмую строчки. Именно в этих строчках

3. Посчитаем сумму значений при которых Получим ответ 2.

В таблице строк.

1. Конъюнкция будет равна истинна, если каждая из скобок будет истинна. Обратим внимание на вторую скобку. Если то Следовательно, в седьмой и восьмой строчках

2. В первой скобке если то Причём тогда, когда (в этом случае это седьмая строчка). Если то Причём тогда, когда либо либо Таким образом, в первой, второй и четвёртой строчках Следовательно, в третьей, пятой и шестой строчках

В таблице строк.

Дизъюнкция истинна, когда хотя бы одна из скобок истинна. Первая скобка истинна при поэтому в седьмой строке Вторая скобка истинна при значит, во второй и четвертой строках Тогда в первой, третьей, пятой, шестой, восьмой строках

В таблице строк.

1. Если то и конъюнкция должна быть истинна. То есть Следовательно, в четвёртой строке
2. Если то в любых комбинациях кроме той, когда Значит первая, пятая и седьмая строки дают нам Суммарно строки, в которых

В таблице строк.

1. Рассмотрим, когда конъюнкция будет истинной. Когда мы это найдем, то поймем, какие строчки дадут нам Конъюнкция будет истинна, если каждая из скобкой будет истинной. Первая скобка истинна при всех комбинациях кроме той, когда Значит можно точно сказать, что третья и четвёртая строки дадут

2. Вторая скобка истинна только при одной комбинации переменных: Этому набору соответствует пятая строка таблицы истинности. Таким образом, при наборах, представленных в оставшихся строчках. Сумма значений , при которых 3.

В таблице строк.

Для начала найдем те строчки, в которых Для этого импликация должна быть ложной, а ложной она будет в том случае, если Следовательно, Первая скобка в таком случае должна быть истинной. Она будет истинной при всех комбинациях переменных кроме той, когда Становится ясно, что в четвёртой, седьмой и восьмой строчках. Значит в остальных строчках Причём сумма значений равна 1.

В таблице строк.

Рассмотрим, когда первая скобка будет ложна. Импликация ложна в том случае, если То есть При этих значениях вторая скобка будет истинна. Таким образом, третья строка таблицы истинности даёт Рассмотрим, когда вторая скобка будет ложна. Она будет ложна в случае, если При этих значениях переменных первая скобка будет истинна. Значит, эквивалентность будет ложна. Эти наборы переменных соответствуют седьмой и восьмой строчкам таблицы истинности. Во всех остальных строчках Всего таких строчек 5.

Решение программой

print("x, y, z")
def f(x, y, z):
    return (x <= ((not y) == z)) == (z <= (not y))
for x in [0, 1]:
    for y in [0, 1]:
        for z in [0, 1]:
            if f(x, y, z) == 0:
                print(x, y, z)

Решение аналитически

В таблице строк.

1. Рассмотрим сначала вторую скобку. в случае, когда В этом случае первая скобка должна быть истинной. Это произойдёт в случае Значит в четвёртой строке таблицы истинности

2. Обратимся теперь к первой скобке. Она будет ложной в случае либо в случае Второй вариант нас не устроит, так как импликация во второй скобке тоже будет ложной, а это значит, что Проверкой первого случая убеждаемся в том, что при данных значениях переменных. Значит функция примет значение 0 в пятой строке. Суммарно подходящих строк две.

В таблице строк.

1. в случае, когда одна скобка будет истинна, а вторая ложна. Разберем случай, когда первая скобка истинна. Тогда принимают разные значения. Тогда вторая скобка должна быть ложна. И там уже принимают одинаковые значения. Этому условию удовлетворяют четвёртая, пятая строки.

2. Разберём случай, когда вторая скобка истинна, а первая ложна. Первая скобка ложна в случае одинаковых значений переменных Вторая скобка истинна в том случае, если имеют разные значения. Этому условию удовлетворяют вторая и седьмая строки. Таким образом, всего четыре строки, в которых

В таблице строк.

Конъюнкция истинна тогда, когда все три скобки будут истинными. Рассмотрев вторую скобку, поймём, что в подсчёт ответ не могут включаться пятая и шестая строчка (так как в них импликация будет ложной). Также не могут включаться строчки, в которых переменные и имеют не одинаковые значения. Следовательно, из подсчёта уходят вторая, третья и седьмая строчки. А рассмотрев первую скобку, мы поймём, что она будет ложной тогда, когда а переменные принимают разные значения (все подобные строчки уже не входят в ответ). Значит, остаётся 3 строки, которые дадут нам

В таблице строк.

Эквивалентность истинна тогда, когда обе скобки будут иметь одинаковые значения. Рассмотрим случай, когда первая скобка примет значение 0. Для этого а переменные могут принимать следующие значения: Среди этих вариантов только в первом случае вторая скобка будет ложной, а значит, Рассмотрим теперь, когда обе скобки примут значение 1. Это выполнится в трёх случаях: Таким образом, сумма значений при которых равна 2.

В таблице строк.

Конъюнкция истинна тогда, когда обе скобки будут истинны. Вторая скобка истинна в случае, когда переменные принимают разные значения. Тогда В таком случае переменная может быть равна как 0, так и 1. Из всего этого следует, что в третьей, четвёртой, пятой и шестой строчках. Всего таких строчек 4.

В таблице строк.

Дизъюнкция ложна, когда обе скобки будут ложными. Первая скобка ложна в случае, когда имеют разные значения. Вторая скобка ложна в случае, когда В таком случае При этом переменная может иметь значение как 0, так и 1. Следовательно, всего две строки, в которых (это вторая и четвёртая).

В таблице строк.

Для истинности конъюнкции каждая скобка должна быть истинной. Вторая скобка истинна, когда имеют разные значения. Если то (иначе импликация в первой скобке будет ложной. Тогда Дизъюнкция в третьей скобке также истинна. Следовательно, шестая строка таблицы истинности даёт Если то При этом импликация в первой скобке будет истинна. Также должна быть истинна дизъюнкция в третьей скобке, а для этого Следовательно, в третьей строке Всего две строки, в которых

В таблице строк.

Для ложности функции должно выполняться 2 условия: и Если то Тогда и первая имликация должна быть истинной, а значит, При этом может быть равен как 0, так и 1. Следовательно, в первой и третьей строчках Если же то Тогда (чтобы вторая импликация была тоже истинной). При этом конъюнкция должна быть ложной, а значит, Следовательно, в седьмой строке Всего таких строк 3.

В таблице строк.

1. Решим задачу, поняв, в каких строчках . После чего увидим строчки с Рассмотрим случай, когда В таком случае дизъюнкция будет истинной, а для истинности эквивалентности При этом может быть равен как 0, так и 1. Следовательно, в первой и пятой строчках

2. Теперь рассмотрим случай, когда Если то дизъюнкция будет ложной, а для истинности переменная должна приниамть значение 0. Следовательно, в седьмой строке Если же то дизъюнкция будет истинной, а значит, переменная должна принимать значение 1. Следовательно, в четвёртой строке Итак, всего четыре строки, в которых Это означает, что строк, в которых всего четыре.

В таблице строк.

Функция ложна в том случае, когда обе скобки ложны. Первая скобка будет ложной в том случае, если переменные будут иметь разные значения. Предположим, что В этом случае Конъюнкция также должна быть ложной, а для этого необходимо, чтобы Следовательно, во второй строке Если то При этом может быть равен как 0, так и 1. Следовательно, в третьей и седьмой строчках Итак, всего три строки.

В таблице строк.

тогда, когда эквивалентность будет истинной. Рассмотрим, когда первая скобка будет истинной. Она истинна при При этом вторая скобка тоже должна быть истинной. Так как то Следовательно, в седьмой строке Вторая скобка будет ложной при Тогда конъюнкция должна быть ложной, а для этого Следовательно, в шестой строке Также вторая скобка будет ложной при В этом случае может быть равен как 0, так и 1. Следовательно, в первой и третьей строчках Всего 4 подходящие строки.

В таблице строк.

Для ложности функции импликация должна быть ложной. Для этого При этом для ложности эквивалентности должны принимать разные значения. Следовательно, При этом может быть равен как 0, так и 1. Следовательно, в пятой и седьмой строчках