Тема Математика в физике

02 Дифференциальные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела математика в физике

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#92212

Автомобиль стартует с ускорением $a0$ . Из-за сопротивления воздуха ускорение падает по мере увеличения скорости $v$ по закону $a ≈ (v0 + v)−1$ , где $v0$ — известный коэффициент.
1) Постройте график, изображающий связь между $a$ и $v$ , выбрав координаты так, чтобы он являлся отрезком прямой линии.
2) Через какое время $t0$ после начала движения автомобиль достигает скорости $v0$ ?
3) Определите зависимость скорости $v$ от времени $t$ и постройте (качественно) график $v(t)$ .
(Всеросс., 2008, финал, 9)

Источники: Всеросс., 2008, финал, 9

Показать ответ и решение

1) Пусть зависимость ускорения от скорости:

--k--- a(v) = v0 + v,

где $k$ – коэффициент пропорциональности.
В начальный момент $v = 0$ , тогда:

a0 =-k v0

k = a0v0

По определению ускорения:

a = dv dt

Тогда:

dv -a0v0-- dt = v0 + v

( ) dt = 1dv = v0-+-vdv = 1- 1 + v- dv a a0v0 a0 v0

( ) − 1 1- v- a (v) = a0 1+ v0

Видим, что зависимость $a−1(v)$ линейна.

$PIC$

2) Возьмем полученное ранее дифференциальное уравнение и проинтегрируем в интересующих нас пределах:

∫ ∫ ( ) t0dt = 1- v0 1 + v- dv 0 a0 0 v0

3 v t0 =- -0 2 a0

3) Теперь возьмем дифференциальное уравнение и проинтегрируем в промежуточных пределах чтобы найти зависимость скорости от времени:

( ) ∫ t 1-∫ v v- 0 dt = a0 0 1 + v0 dv

a t = v + v2- 0 2v0

2 v + 2v0v − 2a0v0t = 0

Решим полученное квадратное уравнение:

∘ -2-------- v = − v0 ± v0 + 2a0v0t

Поскольку $v ≥ 0$ выбираем одно подходящее решение:

∘ -2-------- v(t) = − v0 + v0 + 2a0v0t

$PIC$

Ответ:

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#92213

Тело движется вдоль оси $x$ из точки с нулевой координатой так, что проекция его скорости на ось $x$ зависит от координаты $x$ по закону $√-- vx = α x$ , где $α$ – известная постоянная. Через какое время после начала движения тело будет иметь координату $x 0$ ?

(«Росатом», 2014, 11)

Источники: Росатом, 2014, 11

Показать ответ и решение

Проекция скорости на ось $x$ по определению равна:

dx- vx = dt

С другой стороны по условию проекция скорости на ось $x$ зависит от координаты по этой оси как:

√ -- vx = α x

Приравняем и разделим переменные:

√dx-= αdt x

Получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными, решим его интегрированием в заданных по условию пределах:

∫x0 ∫ t dx-- √x--= α dt 0 0

√ -|x0 2 x|0 = αt

Тогда искомое время движения:

--- 2√ x0 t = ------ α

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#92214

Имеется цилиндрический сосуд глубиной $H = 5 м$ , полностью заполненный водой. В дне сосуда сделано отверстие, площадь которого в 40 раз меньше площади сечения сосуда. За какое время вся вода вытечет из сосуда? Ускорение свободного падения $g = 10 м/ с2$ .
Указание. Скорость истечения воды из малого отверстия, расположенного на глубине $h$ , равна $√ ---- 2gh$ (закон Торричелли).
(«Росатом», 2011, 11)

Источники: Росатом, 2011, 11

Показать ответ и решение

Пусть площадь основания сосуда – $S$ , площадь отверстия – $s$ , тогда малый объем воды, вытекающей через отверстие:

dV = svdt

С другой стороны объем воды в сосуде:

V = Sh

Возьмем дифференциал и приравняем выражения для него:

Sdh = svdt

По условию

∘ ---- v = − 2gh,S = 40s

Знак минус означает, что направление скорости не совпадает с направлением оси наполнения объема, подставим в наше выражение и разделим переменные:

d√h-- ∘ --- S h = − s 2gdt

Получим дифференциальное уравнение с разделенными переменными, решим его интегрированием в заданных условиях:

√ --0 ∘ --- − 2S h|H = s 2gt

Тогда время вытекания жидкости:

∘ ---- 2H t = 40 ----= 40 c g

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#92215

Цилиндр из твёрдой углекислоты радиуса $R$ и высотой $h = R∕2$ стоит на одном из своих оснований на плоской поверхности. Углекислота испаряется так, что с единицы площади в единицу времени испаряется масса $σ$ . За какое время вся углекислота испарится? Плотность углекислоты $ρ$ .

(«Росатом», 2015, 11)

Источники: Росатом, 2015, 11

Показать ответ и решение

Углекисота испаряется с открытых поверхностей цилиндра: верхнего основания и боковой поверхности. Со временем из-за испарения цилиндр уменьшается, соответственно уменьшается и площадь поверхностей для испарения. Пусть суммарная площадь открытх поверхностей $S$ , за время $dt$ испарится малый слой углекислоты толщиной $dh$ , тогда по закону сохранения массы:

σSdt = ρdhS

Отсюда можем выразить скорость уменьшения размеров углекислоты:

dh σ --- = -- dt ρ

Можем заметить, что скорость испарения не зависит от площади, значит время испарения с основания и с боковой поверхности не зависят друг от друга и равны:

tбок = R--= R-ρ dh- σ dt

h R ρ tосн = dh-= --- --- 2σ dt

Время испарения с основания меньше, значит и весь цилиндр испарится за это время:

t = R-ρ 2σ

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#92216

Тело массой $m$ брошено вертикально вверх со скоростью $v0$ . Сила сопротивления воздуха пропорциональна скорости тела. Найдите зависимость скорости тела от времени.
(МФТИ)

Источники: МФТИ

Показать ответ и решение

На тело во время движения действуют две силы: сила тяжести и сила сопротивления воздуха. Сила сопротивления пропорциональна скорости и равна:

⃗Fсопр = − k⃗v

Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось:

mg + kv = − m dv- dt

Поскольку скорость уменьшается дифференциал скорости отрицательный, для удобства работы вынесем минус и будем работать с положительными дифференциалами. Разделим переменные в уравнении:

k- --dv---- m dt = − mg-- k + v

Слагаемое $mg-- k$ является константой, можем его внести внутрь дифференциала, не изменяя его, поскольку дифференциал константы ноль:

( ) d mg--+ v k- ----k------- m dt = − mg-- k + v

Проинтегрируем полученное уравнение в пределах от начальных параметров до значений в некоторой промежуточной точке, чтобы найти зависимость скорости от времени:

mg ( ) ∫t k∫ +vd mg--+ v k- dt = − ----k------- m mg-+ v 0 mgk +v0 k

k mgk-+ v --t = − ln mg------ m k + v0

Преобразуем уравнение, используя свойства натурального логарифма:

mg-+ v k -mkg----- = e− mt k--+ v0

( mg ) − k-t mg v (t) = -k--+ v0 e m − -k--

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#92313

Точечное тело начинает движение из точки $x = 0$ в положительном направлении оси $x$ . Известно, что координата тела $x$ и его скорость в процессе движения связаны соотношением

x= Av2x +B

$2 A = −2 c ∕м$ , $B = 2$ м. Вернётся ли тело в точку $x = 0$ и если да, то через какое время после выхода из неё?
(«Росатом», 2018, 11)

Источники: Росатом, 2018, 11

Показать ответ и решение

Продифференцируем по времени уравнение движения тела:

dx dvx dt = 2Avxdt-

Отсюда можем выразить ускорение тела:

ax = 1--=const 2A

Поскольку постоянная $A$ отрицательна, проекция ускорения также отрицательна. Найдем начальную скорость тела, для этого возьмем уравнение движения тела и подставим координату $x = 0$ :

2 0= Av0 +B

∘ ---- B- v0 = − A

Постоянная $A$ отрицательна, подкоренное выражение положительно, соответственно и проекция начальной скорости положительна. Поскольку ускорение постоянно тело движется равноускоренно, закон движения тела:

a t2 ∘--B- t2 x(t)= v0t+ -x2--= − A-t+ 4A--

Найдем момент времени когда координата $x = 0$ , момент времени $t= 0$ нас не интересует, поэтому можем сразу сократить $t$ :

∘---- B- -t- 0 = − A + 4A

∘ ---- t= −4A − B-= 8 с A

Ответ:

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#92314

Брусок скользит по гладкой горизонтальной поверхности со скоростью $v0$ и по касательной попадает в область, ограниченную забором в форме полуокружности (см. рисунок). Определить время, через которое брусок покинет эту область. Радиус забора $R$ , коэффициент трения скольжения бруска о поверхность забора равен $μ$ . Трением бруска о горизонтальную поверхность пренебречь, размеры бруска много меньше $R$ .