Сила трения —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#29281

Известно, что благодаря антикрыльям вес болида Формулы-1 при скорости $v = 216 км/ч$ в 6 раз превышает силу тяжести. Определите, чему равен минимальный радиус поворота $R$ , по которому способен проехать такой болид на данной скорости. Коэффициент трения между покрышками и поверхностью трассы равен $μ = 0,8$ . Ускорение свободного падения считайте равным $2 g = 10 м/ с$ .

Источники: Всеросс., 2016, ШЭ, 10

Показать ответ и решение

При движении болида по повороту на болид действует центростремительное ускорение, созданное силой трения. Запишем второй закон Ньютона:

ma = F тр

При этом центростремительное ускорение равно:

2 a = v-, R

а сила трения

Fтр = μN,

где $N = P = 6mg$ – сила реакции опоры, $m$ – масса болида.
Отсюда

v2 v2 3600 (м/с)2 ---= 6μg ⇒ R = ----= --------2---= 75 м R 6μg 48 м/с

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#29282

На железнодорожной платформе, движущейся по горизонтальному рельсовому пути с постоянной по величине и направлению скоростью $V0 = 10$ м/с, стоит коробка. Внезапно начинается торможение, платформа движется по прямой до полной остановки с постоянным по величине ускорением $a = 2 м/ с2$ . Коробка, в свою очередь, перемещается относительно платформы на $S = 12$ м и останавливается. Ускорение свободного падения $2 g = 10 м/ с$ . Коробка движется по горизонтальной прямой.
1. Найдите тормозной путь $L$ платформы.
2. Найдите коэффициент $μ$ трения скольжения коробки.
3. В течение какого времени $T$ скорость коробки в системе отсчёта, связанной с платформой, увеличивалась?
4. Найдите наибольшую скорость $Umax$ коробки относительно платформы.

Источники: «Физтех», 2021, 9

Показать ответ и решение

1) Тормозной путь равен:

V02− V 2 V 20 100(м/с)2 L = ---------= --- = --------2-= 25 м 2a 2a 2 ⋅ 2 м/с

2) Тормозной путь коробки относительно рельс равен $(L + S )$ , тогда коэффициент трения тогда аналогично прошлому равенству:

ma = μmg ⇒ a = μg

V02− V 2 V02 V02 (L + S ) = ---------= ----⇒ μ = ----------≈ 0,135. 2a 2μg 2(L + S)g

3) $V0 T = --- = 5 с a$ .
4) $( μg) Umax = (a − μg)T = V0 1 − --- ≈ 3,2 м/с a$

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записана формула тормозного пути	2

Записан второй закон Ньютона	2

Записана формула времени движения	2

Записана формула максимальной скорости	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#29283

Горизонтальная лента конвейера движется относительно земли с постоянной скоростью $u$ . На ленте лежит брусок, который вначале неподвижен относительно этой ленты. Коэффициент трения между бруском и лентой равен $μ$ . На пути бруска находится неподвижная относительно земли вертикальная стенка (см. рисунок). Достигнув стенки, брусок соударяется с ней абсолютно упруго. После первого удара брусок отскакивает назад, но через некоторое время вновь достигает стенки. Далее удары о стенку повторяются с некоторым интервалом времени $T$ . Найдите этот интервал. Ускорение свободного падения $g$ известно.

Источники: Всеросс., 2019, МЭ, 10

Показать ответ и решение

Рассмотрим движение бруска относительно земли. Из второго закона Ньютона находим, что ускорение бруска в те моменты, когда он проскальзывает относительно ленты, равно $a = μg$ и направлено вправо, вдоль оси X.

После каждого удара о стенку существует интервал времени, в течение которого брусок движется равноускоренно. Зависимость проекции скорости бруска на ось X от времени $t$ при этом имеет вид:

V = − u + μgt. x

Брусок перестаёт проскальзывать относительно ленты в тот момент, когда его скорость относительно земли сравнивается со скоростью ленты:

u = − u + μgt1.

Отсюда время равноускоренного движения равно

2u- t1 = μg .

Найдём изменение координаты x бруска за время $t1$ :

μgt2 Δx = − ut1 +----1= 0. 2

Изменение координаты равно нулю. Это означает, что скорость бруска сравняется со скоростью ленты ровно в тот момент, когда брусок вновь подъедет к стенке. В тот же момент произойдёт следующий удар, поэтому время $t1$ и есть искомый интервал $T$ между ударами.
(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записан второй закон Ньютона	2

Записана зависимость проекции скорости от времени	2

Сказано, когда проскальзывание прекратится	2

Записана формула времени движения и изменения координаты	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#29284

На горизонтальной гладкой поверхности стола покоится доска массой $M$ (см. рисунок). На доску со скоростью $v$ въезжает шайба массы $m$ . Какой должна быть длина доски, чтобы шайба не соскользнула с неё? Коэффициент трения скольжения между шайбой и доской равен $μ$ , размер шайбы мал по сравнению с длиной доски.

Источники: МФТИ, 1993

Показать ответ и решение

Сила трения между шайбой и доской $μmg$ . Относительно стола ускорение шайбы $μg$ , а ускорение доски $M a = μmg ⇒ μmg ∕M$ . Ускорение шайбы относительно доски

a = μg + μmg--. M

Начальная скорость шайбы относительно доски равна $v$ . Путь шайбы по доски до моменты остановки на доске

v2 S = --. 2a

Длина доски $L$ должны быть больше $S$

2 L > ----M-v------ 2μ(M + m)g

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#29285

Систему грузов, имеющих массы $m$ и $3m$ , тянут с помощью подвижного блока по гладкой горизонтальной поверхности. При каких значениях силы $F$ грузы не будут проскальзывать друг по другу, если коэффициент трения между ними $μ$ ? Массами блоков и нити можно пренебречь. Нить нерастяжима.

Источники: Всеросс., 2018, МЭ, 11

Показать ответ и решение

Если бы трение отсутствовало, то тогда ускорение груза $m$ было бы больше ускорения груза $3m$ , значит, сила трения, действующая на груз $m$ , направлена влево. В момент начала проскальзывания возникает пограничная ситуация: в системе действует максимально возможная сила трения, но ускорения грузов одинаковы. Ввиду невесомости нити и блоков сила натяжения нити равна $F -- 2$ Запишем второй закон Ньютона для груза $m$ и груза $3m$ соответственно:

( { F-− μmg = ma 2 ⇒ F = 8μmg ( F + μmg = 3ma

Значит, проскальзывание отсутствует при $F ≤ 8μmg.$
(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#29286

Ведущие колёса паровоза соединены реечной передачей, одно звено которой представляет собой плоскую горизонтальную штангу, шарнирно прикреплённую к спицам соседних колёс на расстоянии от оси, равном половине радиуса $R$ колеса (рис.). При осмотре паровоза механик поставил на эту штангу ящик с инструментами и по рассеянности забыл его там. Паровоз трогается с места и начинает медленно набирать скорость. При какой скорости $v1$ паровоза ящик начнёт проскальзывать относительно штанги? При какой скорости $v2$ паровоза ящик начнет подпрыгивать? Коэффициент трения между ящиком и штангой равен $μ$ . Числовой расчёт проведите для значений $R = 1 м$ , $μ = 0, 5$ .

Источники: Всеросс., 2004, финал, 10

Показать ответ и решение

Перейдем в систему отсчета, равномерно движущуюся вместе с паровозом. Очевидно, что пока ящик не проскальзывает, он движется по окружности радиуса $l = R ∕2$ . Вектор ускорения направлен к центру окружности и равен $ω2l$ . Пусть $m$ масса ящика, $N$ нормальная реакция опоры, $ω$ – угловая скорость вращения колес, $φ$ – угол, который спица в данный момент образует с горизонтом. Условие отсутствия проскальзывания ящика можно записать в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси:

( { Ox m ω2lcos φ ≤ μN 2 ( 2 ⇒ μg ≥ ω l(cosφ + μ sin φ ) Oy m ω lsinφ = mg − N,

Выражение $f(φ ) = (cos φ + μ sin φ)$ максимально при $φ = φ0$ , которое находится из условия

′ f (φ0) = − sinφ0 + μcos φ0 = 0,

откуда $tgφ0 = μ.$ Но можно обойтись и без производных, введя вспомогательный угол $ψ$ :

tgψ = μ

Тогда

f(φ ) = cos φ + sin-ψ sin φ = cos(φ-−-ψ). cos ψ cos ψ

Это выражение принимает максимальное значение при $φ = ψ$ . Выражая $sin φ0$ и $cosφ0$ через $μ$ , найдем $∘ ------- f (φ0) = 1 + μ2$ и преобразуем условие отсутствия проскальзывания:

2 ω--l≤ ∘--μ----. g 1 + μ2

Отсюда

∘ --------- -2gR-μ--- v1 = ω1R = ∘ 1 + μ2 ≈ 3,0 м/ с

Если скорость превысит это значение, ящик сдвинется относительно штанги. Ящик начнет подпрыгивать, когда вертикальное ускорение штанги в верхней точке превысит ускорение свободного падения:

2 ∘ ---- ω l ≥ g ⇒ v2 = ω2R = 2gR = 4,43 м/с

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#29287

Однородный диск раскрутили вокруг его оси до угловой скорости $ω$ и положили на границу раздела двух горизонтальных полуплоскостей так, что его центр оказался точно на границе (см. рисунок; вид сверху). Коэффициент трения между диском и одной полуплоскостью $k$ , между диском и другой полуплоскостью $2k$ . Найти ускорение центра диска сразу после того, как он оказался на поверхности.

(«Росатом», 2019, 11)

Источники: «Росатом», 2019, 11

Показать ответ и решение

Мысленно разобьем диск на узкие колечки, найдем силу трения, действующую на каждое, а потом просуммируем. Рассмотрим четыре малых элемента кольца одинаковой длины, лежащих на одинаковых расстояниях от границы полуплоскостей на одной и второй полуплоскости (см. рисунок). На них действуют силы трения, направленные противоположно скорости элементов (т.е. по касательным к кольцу). Но поскольку коэффициенты трения диска о полуплоскости – разные, то две силы будут больше двух других, и суммарная сила трения не будет равняться нулю.

Рассмотрим силы, действующие на два таких элемента, лежащих на одной и той же полуплоскости. Очевидно, сумма сил трения, действующих на них, будет направлена вдоль границы и равна

2k Δmg sin α, 1

где $k1$ – коэффициент трения между диском и той полуплоскостью, на которой находятся рассматриваемые элементы диска, $Δm$ – масса каждого элемента, $α$ – угол между элементами и перпендикуляром к границе раздела между полуплоскостями (см. рисунок).

Масса элемента пропорциональна его длине

Δm = Δl-m. l

где $m$ – масса кольца, $l$ – его длина, $Δl$ – длина рассматриваемых элементов. Поскольку величина

Δl sinα

имеет смысл проекции рассматриваемого элемента кольце на границу раздела между полуплоскостями, то их сумма дает диаметр кольца. Поэтому сумма проекций сил трения, действующих на элементы кольца, находящихся с одной стороны от границы раздела дает

∑ mg2r k1mg 2k1Δmg sin α = k1 ------= ------. 2πr π

где $r$ – радиус рассматриваемого кольца. Сумма проекций сил трения, действующих на другую половину дает

k2mg-- π .

Поэтому суммарная сила трения, действующая на рассматриваемое кольцо, есть

(k1 − k2)mg ------------. π

Суммируя силы трения, действующие на отдельные колечки, найдем результирующую силу трения, действующую на диск

(k1 − k2)M g F = ------------- π

где $M$ – масса диска. Отсюда находим ускорение центра диска, которое будет направлено вдоль границы полуплоскостей

(k − k )g a = --1----2--. π

Поэтому в рассматриваемом варианте ( $k1 = 2k$ , $k2 = k$ ) имеем

a = kg. π

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#29288

Девятиклассник стоит на границе газона и обледеневшего участка дороги шириной $L$ . Трение между обувью мальчика и дорогой практически отсутствует. Он решил сначала отбежать назад, а затем, разогнавшись, преодолеть скользкий участок по инерции. Коэффициент трения между обувью и газоном равен $μ$ . Ускорение свободного падения равно $g$ .
1) Какое наименьшее время $T1$ потребуется мальчику, чтобы отбежать от дороги и вновь вернуться к границе обледеневшего участка, разогнавшись до скорости $v0$ ?
2) Какое наименьшее время $T$ от момента начала движения понадобится ему для преодоления всего скользкого участка?

Источники: Всеросс., 2011, РЭ, 9

Показать ответ и решение

Наибольшее ускорение ученика, обусловленное трением, $a = μg$ как при разгоне, так и при торможении

На скользком участке скорость не меняется. Пусть школьник в течение времени $t1$ удаляется с ускорением a от края дороги. Затем он начинает тормозить с тем же ускорением. До полной остановки уйдёт такое же время $t1$ . При этом он окажется на расстоянии $S = at21$ от края дороги. Разгоняясь в сторону границы, он затратит ещё время $t2$ , чтобы вновь преодолеть расстояние $S$ . При этом $S = at22∕2$ . Скорость же на границе $v = at2$ . Выражая $t1$ через $t2$ , а затем $t2$ через $v0$ , получим ответ на первый вопрос:

√ -- v T1 = ( 2 + 1)--0. μg

Время пересечения дороги $t3$ равно:

L- -L- t3 = v = at2.

Полное время движения:

T = 2t1 + t2 + t3

Выражая $t1$ через $t2$ , получим:

√ -- L T = ( 2 + 1)t2 +--- at2

Наименьшее время достигается при $√ -- ( 2 + 1)t2 = L∕(at2)$ , то есть при условии:

2 -√---L---- t2 = ( 2 + 1)a

Отсюда

∘ ---√------- L(--2-+-1)- T = 2 μg .

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#29289

Доска массы $M$ и длины $L$ скользит с некоторой скоростью $v0$ по гладкой горизонтальной поверхности. На левом краю доски лежит кубик массы $m$ . Коэффициент трения скольжения между кубиком и доской равен $μ$ . Доска испытывает абсолютно упругий удар о вертикальную стенку (см. рисунок). При какой максимальной скорости доски $v0 = vmax$ кубик с неё не упадёт? Размерами кубика по сравнению с $L$ пренебречь. В процессе всего движения кубик не опрокидывается.

Источники: Всеросс., 2010, РЭ, 10

Показать ответ и решение

Сразу после удара о стенку доска изменит направление движения на противоположнное, а кубик продолжит движение к стенке. Сила трения скольжения вызовет изменение как скорости кубика, так и скорости доски. Уравнение движения для кубика и доски:

( { vk = − v0 + μgt μmg ⇒ aд = ----- ( M aд = F тр = μmg M

Следовательно, скорость доски

μmg vд = v0 − -----t M

Проскальзывание прекратится после того, как скорости доски и кубика сравняются:

v0 − μg m--tк = − v0 + μgtк ⇒ tк = 2v0---M---- M μg M + m

Максимальное перемещение кубика относительно доски равно $L$ . Из рисунка видно, что оно численно равно площади заштрихованного треугольника:

L = 1⋅ 2v ⋅ t 2 0 к

то есть максимальная скорость, при которой кубик не упадёт с доски:

∘ ---------------- μgL ( M + m ) vmax = ----- -------- . 2 M

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#40698

Экспериментатор Глюк обнаружил у себя в архивах чертеж механической системы, включающей в себя грузы массой $m$ и $M$ , три невесомых блока и невесомые нерастяжимые нити, причем трения в блоках нет. Груз $m$ висит вертикально, а груз $M$ лежит на шероховатой горизонтальной плоскости. Найдите ускорение груза $m$ , считая, что $m = 1 кг$ , $M = 11 кг$ , $μ = 0,25$ . Обратите внимание, что конец левой нити прикреплен к оси самого правого блока и к этой же оси прикреплена другая нить, соединенная с грузом $M$ .
(Всеросс., 2020, МЭ, 11)

Источники: Всеросс., 2020, МЭ, 11

Показать ответ и решение

Для описания движения данной системы тел выберем неподвижную систему отсчёта, ось $y$ которой направлена вертикально вниз, куда может двигаться грузик $m$ , а ось $x$ по горизонтали справа налево, в направлении возможного движения груза массой $M$ . Обозначим силу натяжения первой нити через $T$ , а второй - через $4F$ (см. рисунок).

Тогда в проекциях на выбранные оси координат уравнение движения двух тел системы имеют вид:

mg − T = ma1, F − Fтр = M a2

В силу условия задачи можно считать, что сила натяжения вдоль всей первой нити одинакова и равна $T$ , а сила натяжения второй нити $F = 3T$ , так как для правого блока сумма сил должна быть равна нулю.

Если груз $M$ сдвинется влево на расстояние $x$ , то грузик $m$ за счет укорочения трех горизонтальных участков первой нити сдвинется вниз на расстояние $3x$ . Поэтому уравнение кинематической связи для ускорений тел имеет вид: $a1 = 3a2$ . При движении данной системы тел если $a1 > 0$ , то на груз $M$ действует сила трения скольжения

Fтр = μM g

Подставим в исходную систему уравнений все полученные выражения:

T = mg − 3ma2; 3T − μM g = M a2

Отсюда:

(3m--− μM-)g- a2 = 9m + M

тогда

3(3m − μM )g a1 = 3a2 = --9m-+-M----= 0,375 м∕c2

Так как получено положительное значение ускорения, то тела действительно будут двигаться, поэтому предположение о действующей силе трения верно.

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Представлен рисунок с верно отмеченными силами и указанными осями	1

Записан второй закон Ньютона для каждого тела	2

Получена связь между $F$ и $T$	1

Получена и обоснована связь между ускорениями тел	3

Получено верное выражение для ускорения груза $m$	2

Получен верный численный ответ	1

Максимальный балл	10

15 Сила трения