Сила упругости —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#30864

К потолку с помощью лёгкой нити и двух невесомых пружин подвешены грузы массами $m1$ , $m2$ и $m3$ (см. рисунок). Система покоится.
1) Определить силу натяжения нити.
2) Определить ускорение (направление и модуль) груза массой $m1$ сразу после пережигания нити.

Показать ответ и решение

Так как пружины и нить невесомы, то силы упругости и сила натяжения вдоль соответсвующих пружин и нити равны по модулю.
1) Запишем второй закон Ньютона поочередно для 3, 2 и 1 грузов:

T = m g 2 3

T1 = m2g + T2 ⇒ T1 = (m2 + m3 )g

T = m1g + T1 ⇒ T = (m1 + m2 + m3)g

2) Аналогично запишем второй закон Ньютона для первого груза при пережигании нити, с учетом того, что за малое время пережигания изменением деформации пружин можно пренебречь, то есть изменением сил упругости, так как по закону Гука они пропорциональны величине деформации:

m1 + m2 + m3 m1g + T1 = m1a1 ⇒ a1 = g--------------- m1

Направлено ускорение вниз.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#30865

Пружины, жёсткость каждой из которых $k = 10 Н/ м$ , соединены как показано на рисунке. С какой силой $F$ нужно растягивать систему, чтобы точка приложения силы опустилась на $Δx = 10 см$ ?

Источники: Курчатов, 2014, 7

Показать ответ и решение

Так как сумма сил, действующих на верхнюю платформу, равна нулю, силы натяжения верхней и нижней пружин равны $F$ , а средней $F∕2$ (см. рис.)

Удлинения верхней и нижней пружины:

Δx1 = F- k

а средних пружин

F∕2- F-- Δx2 = k = 2k

Общее удлинение пружины

5F Δx = 2Δx1 + Δx2 = --- 2k

Откуда

2kΔx 2 ⋅ 10 Н/м ⋅ 0,1 м F = ------= ------------------= 0,4 Н 5 5

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Записано соотношение между силами натяжения верхней, средней и нижней пружин	2

Записаны деформации верхней, средних и нижней пружин	2

Записана общая деформация пружин	2

Выражена искомая величина	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#30866

Один конец лёгкого упругого жгута закреплён, а к другому привязан груз массой $m = 2$ кг, который движется в горизонтальной плоскости по окружности вокруг закреплённого конца жгута, совершая $90$ оборотов в минуту. Коэффициент жёсткости жгута $k = 700$ Н/м, его длина в недеформированном состоянии $1$ см.
1) Рассчитайте угловую скорость $ω$ груза.
2) Найдите длину жгута $l$ .
(«Курчатов», 2018, 9)

Источники: Курчатов, 2018, 9

Показать ответ и решение

1) Так как груз совершает $90$ оборотов в минуту, частота его вращения равна $1,5 Гц$ . С другой стороны, частоту можно выразить как $ν = ω-⇒ ω = 2πν 2π$ , откуда

ω = 2πν ≈ 9,4 рад/с

2) Центробежная сила, действующая на груз, равна

Fцб = ma цб = m ω2l

По второму закону Ньютона, сила натяжения жгута равна центробежной силе. Удлинение жгута составит $l− l0$ , тогда

k k(l− l0) = m ω2l ⇒ l =-----2l0 ≈ 1,34 см k − m ω

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Найдена угловая скорость обращения	2

Записана формула центробежной силы	2

Использована формула центробежного ускорения	2

Использован второй закон Ньютона и формула силы упругости	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#30867

Два отрезка лески изготовлены из одинакового материала. При этом диаметр первой лески в два раза меньше, чем у второй, а длина – в два раза больше. Под весом прикреплённого к концу лески груза первая леска растянулась на $4 мм$ (что значительно меньше её длины). Какой будет величина деформации второй лески, если на ней подвесить тот же груз?
(«Покори Воробьёвы горы!», 2017, 10–11)

Источники: Покори Воробьёвы горы, 2017, 10-11

Показать ответ и решение

Величина деформации лески по условию значительно меньше длины лески, значит сила упругости подчиняется закону Гука:

mg = k1x1 = k2x2,

где $m$ – масса веса, $k1$ и $k2$ – жёсткости лески, $x1$ и $x2$ – удлинение в первом и во втором случае соответственно.
Жёсткость лески определятся по формуле:

k = E S-, L

$E$ – модуль Юнга материала, $S = πD2 ∕4$ – площадь поперечного сечения, $L$ – длина, $D$ – диаметр лески.
Так как $D2 = 2D1$ и $L1 = 2L2$ , то $k2 = 8k1$ и

x1- x2 = 8 = 0,5 мм

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#30868

Лёгкую пружину подвесили за один конец к потолку. Если к свободному концу пружины прикрепить груз массой $m$ , то её длина будет равна $l1$ . Если от пружины отрезать одну четверть, а к её оставшейся части прикрепить груз массой $2m$ , её длина будет равна $l 2$ . Найти коэффициент жёсткости первоначальной пружины.
(«Росатом», 2017, 11)

Источники: Росатом, 2017, 11

Показать ответ и решение

Пусть длина недеформированной пружины $l0$ , первоначальный коэффициент жёсткости $k$ . При прикреплении груза $m$ второй закон Ньютона запишется в виде:

mg = k(l1 − l0)

Жёсткость материала определятся по формуле:

S k = E --, L

$E$ – модуль Юнга материала, $S$ – площадь поперечного сечения, $L$ – длина.
То есть если отрезать 1/4 материала, то жёсткость станет равна

4k k1 = ---. 3

Тогда

4 ( 3 ) 2mg = -k l2 − -l0 3 4

Соединяя два уравнения

--3mg---- k = 4l2 − 3l1.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#30869

Из тонкого шнура массой $m$ с коэффициентом упругости $k$ сделано кольцо радиусом $r0$ . Кольцо надевают на прямой круговой конус с углом при вершине $2α$ (рис.). Ось конуса вертикальна, его поверхность гладкая. Найдите радиус $r$ кольца, находящегося на конусе. До какой угловой скорости $ω$ надо раскрутить кольцо вместе с конусом вокруг оси конуса, чтобы радиус кольца, находящегося на конусе, стал $2r$ ?
(Всеросс., 1997, финал, 10)

Источники: Всеросс., 1997, финал, 10

Показать ответ и решение

Рассмотрим маленький элемент кольца массой $Δm$ , которому соответствует малый угол $β$ (рис. а). Масса элемента равна

m Δm = --β. 2π

Силу нормального давления $N$ разложим на вертикальную $N1$ и горизонтальную $N2$ составляющие (рис. б). Ясно, что

N2 = N1-. tgα

Запишем условие равновесия элемента кольца:

N1 = Δmg,

⃗′ ⃗ |T | = |T| = T,

N = 2T sin β 2 2

так как угол $β$ малый, то $β sin 2-≈ β∕2$ и $N2 ≈ T β$ . Тогда решая три последних уравнения

Δmg--- --mg- T = β ⋅tgα = 2πtgα .

Так как

T = k(2πr − 2πr0),

то радиус кольца, находящегося на конусе, равен

mg r = r0 + --2----. (1) 4π ktgα

Пусть при вращении радиус кольца станет $R = 2r$ . Сила $N1$ не изменится, значит, не изменится и $N2$ . По второму закону Ньютона

2 Δmg-- Δma ц = T1β − N2 ⇒ Δm ω R = T1β − tgα ,

где $aц$ – центростремительное ускорение, $T2 = 2πk(R − r0).$ С учётом выражения для $Δm$ и (1) получаем

4kπ2 R− r ω2 = ----⋅ ----, m R

для $R = 2r$

∘ --- ω = π 2k. m

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#40696

Через легкий блок, подвешенный на пружине жесткостью $k = 0,5 к Н/м$ перекинута невесомая нить, прикрепленная при помощи такой же пружины к земле. Конец А нити находится на высоте $h = 10 см$ от земли. Какой минимальной силой $F min$ , приложенной к концу А веревки, можно притянуть её к земле?
(Всеросс., 2020, МЭ-Тульск, 11)

Источники: Всеросс., 2020, МЭ, 11

Показать ответ и решение

Будем вначале считать, что верхняя пружина не растягивается, то есть мысленно заменим её нерастяжимой нитью. Тогда под действием некоторой силы $F ≤ Fmin$ , приложенной к концу А и направленной вниз, нить, перекинутая через блок, растянет нижнюю пружину на величину

Δx1 = F-, (1) k

а поскольку нить нерастяжима, то на такую же величину $Δx1$ опустится и конец А этой нити. При этом из условия равновесия конца А следует, что сила натяжения нити

T = F (2)

«Включим» теперь верхнюю пружину и запишем условия равновесия подвижного блока. Поскольку на блок действуют две силы натяжения нити $⃗T$ , направленные вниз и сила упругости $⃗F y$ со стороны верхней пружины, направленная вверх (см. рис.), то, обозначив через $Δx2$ абсолютное удлинение верхней пружины, из условия равновесия блока, с учетом (2), получаем

2F Fy = 2T → kΔx2 = 2F → Δx2 = --- (3 ) k

Если считать, что нижняя пружина не растягивается, то есть мысленно заменим её нерастяжимой нитью, то при опускании центра блока на $Δx 2$ правый конец нити опустится на $2Δx 2$ (см. рис.). Следовательно, результирующее смещение $Δx$ вниз конца нити А с учётом деформаций обеих пружин (с учётом (1)) составит

F Δx = Δx1 + 2Δx2 = Δx1 + 4Δx1 = 5Δx1 = 5-- (4) k

Для касания концом нити А земли должно быть выполнено условие

Δx = h → 5 F-= h → F = kh- (5) k 5

Подставляя численные значения, будем иметь

500-⋅ 0,1 F = 5 = 10 Н (6)

Поскольку при меньших значениях силы $F$ конец А не дотянет до земли, то (6) даёт искомое значение $Fmin$ . Следовательно, окончательно получаем: $Fmin = 10$ Н.

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#48137

Тело прикрепляют с помощью двух пружин, коэффициенты жёсткости которых отличаются в два раза, к прямоугольной рамке. При этом тело может двигаться только вдоль длинной стороны рамки. Когда рамку расположили горизонтально (см. рисунок), тело оказалось точно посередине рамки, при этом пружины действуют на тело с силами $F.$ Когда рамку расположили вертикально так, что более жёсткая пружина находится вверху, одна из пружин оказалась недеформированной. Найти массу тела. Считать, что для любых деформаций пружин справедлив закон Гука.

(«Росатом», 2020, 8–11)

Источники: Росатом, 2020, 8-11

Показать ответ и решение

Условию задачи не противоречат два положения – когда в горизонтальном положении пружины растянуты или сжаты. Рассмотрим первый случай: в горизонтальном положении пружины растянуты. Тогда, поскольку при перевороте рамки в вертикальное положение растяжение нижней пружины должно уменьшиться, а верхней – увеличиться, то именно нижняя пружина будет не деформирована, а груз будет удерживать верхняя пружина. Поскольку величина укорочения нижней пружины равна величине удлинения верхней (при перевороте рамки), то со стороны нижней пружины пропадает сила $F$ (эта пружина станет недеформированной), а со стороны верхней добавляется сила $2F$ . Отсюда заключаем, что

3F- m = g

Второй случай: в горизонтальном положении обе пружины сжаты. Тогда в вертикальном положении недеформированной будет верхняя пружина, а силу тяжести компенсировать нижняя. При этом поскольку при перевороте рамки дополнительное удлинение верхней пружины равно дополнительному укорочению нижней, к силе упругости нижней пружины $F$ за счет ее дополнительной деформации добавится сила $F∕2$ (поскольку коэффициент жесткости нижней пружины вдвое меньше). Поэтому

3F m = --- 2g

(Официальное решение Росатом)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#48138

Один конец лёгкого упругого жгута закреплён, а к другому привязан груз, который движется в горизонтальной плоскости по окружности вокруг закреплённого конца жгута, совершая 30 оборотов в минуту, при этом жгут имеет длину $l = 80 см 1$ . После того как угловую скорость вращения груза увеличили в 2 раза, жгут растянулся до длины $l= 140 см 2$ . Коэффициент жёсткости жгута $k = 632 Н/м$ .
1) Рассчитайте начальную угловую скорость вращения $ω$ .
2) Рассчитайте длину жгута $l0$ в недеформированном состоянии.
3) Найдите массу $m$ груза.

(«Курчатов», 2018, 10)

Источники: Курчатов, 2018, 10

Показать ответ и решение

Частота обращения:

−1 ν = 30 мин = 0,5 Гц.

Угловая скорость:

ω = 2πν ≈ 3,14 рад/с.

Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на ось, направленную вдоль жгута к закреплённому концу, в двух случаях (до и после увеличения угловой скорости):

( {k (l1 − l0) = mω2l1, (k (l − l) = m(2ω)2l; 2 0 2

Разделив второе уравнение системы на первое, получим

l2 −-l0 l2 -3l1l2-- l1 − l0 = 4l1 ⇒ l0 = 4l2 − l1 = 70 см

Из первого уравнения системы

k(l1 − l0) m = ----2--- ≈ 8,0 кг ω l1

(Официальное решение Курчатов)

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Правильно вычислена угловая скорость	1

Правильно применён закон Гука	1

Правильно записан второй закон Ньютона	1

Найдена $l0$	1

Найдена $m$	1

Максимальный балл	5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#48141

На горизонтальном столе лежат два одинаковых кубика, связанных пружинкой (см. рисунок). Масса каждого кубика $M = 200 г$ . Правый кубик соединен с легкой чашей нерастяжимой нить, перекинутой через блок. Коэффициент трения между кубиками и столом $μ = 0,1$ . В исходном состоянии пружина не деформирована. Грузик какой минимальной массы $m$ нужно осторожно (без толчка) положить на чашу, чтобы левый кубик сдвинулся с места? Нить, пружину и блок считайте невесомыми.

Источники: Ломоносов, 2022, 7-9

Показать ответ и решение

Левый кубик сдвинется с места, когда сила упругости растянутой пружины станет равной по модулю максимальному значению силы трения покоя, удерживающей его на месте, т.е. при условии, что $kx = μM g$ , где $k$ – коэффициент жесткости пружины, $x$ – растяжение. До тех пор, пока левый кубик остается неподвижным, растяжение пружины совпадает с модулем перемещения правого кубика и чаши. Масса $m$ грузика, лежащего на чаше, минимальна, если левый кубик начнет сдвигаться в момент, когда правый кубик остановится. В этом случае изменение потенциальной энергии грузика $mgx$ расходуется только на работу против сил трения при движение правого кубика и потенциальную энергию деформации пружины. Имеем