13 Связанные тела
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Систему из бруска массой и доски массой находящихся на горизонтальном
столе, приводят в движение, прикладывая к бруску горизонтальную силу (см. рис.).
Коэффициент трения между столом и доской и между горизонтальной поверхностью доски и
бруском равен . Массой горизонтально натянутой нити, массой блока и трением в его оси
пренебречь.
1) Найти ускорение бруска, если бы не было трения.
2) Найти ускорение бруска, если есть трение и параметры , , подобраны так, что есть
движение.
(«Физтех», 2018, 10)
Из нерастяжимости нити ускорения бруска и доски равны по модулю и противоположны по направлению. 1) Укажем силы, действующие на брусок (красным) и на доску (синим) для двух случаев.
Так как нет силы трения (см. левый рисунок), то по второму закону Ньютона для бруска и доски
Ускорения тел равны из-за нерастяжимости нити. Спроецируем второй закон Ньютона на горизонтальную ось
|
откуда ускорение в первом случае
2) Запишем второй закон Ньютона для бруска и доски во втором случае
Сила трения равна:
Спроецируем второй закон Ньютона на вертикальную ось:
Спроецируем второй закон Ньютона на горизонтальную ось, с учётом (1):
|
Откуда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Человеку, упирающемуся в ящик ногами, надо передвинуть ящик из состояния покоя по
горизонтальному полу на расстояние к стене (см. рис.). Массы человека и ящика равны
соответственно и . Натянутые части каната, не соприкасающиеся с блоком, горизонтальны.
Массами каната, блока и трением в оси блока можно пренебречь. Коэффициент трения между ящиком и
полом .
1. С какой силой ящик с человеком давят на пол при движении ящика?
2. С какой минимальной постоянной силой надо тянуть человеку канат, чтобы осуществить
задуманное?
3. Какой скорости достигнет ящик, если человек осуществит задуманное, приложив постоянную силу
() к канату?
(«Физтех», 2018, 10)
Источники:
1.Сила давления на пол по третьему закону Ньютона равна:
Аналогично по третьему закону Ньютона
тогда
2. На ящик в горизонтальном направлении действует 3 силы: сила тяги – , сила натяжения нити –
и сила трения – .
Для того, чтобы ящик пришёл в движение должно выполняться неравенство:
При этом сила трения скольжения равна
Тогда
Минимальная сила:
3. При ящик с человеком будет двигаться с некоторым ускорением, тогда по второму закону Ньютона:
Так как движение с нулевой начальной скоростью, то
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Муфту двигают со скоростью по горизонтальной направляющей (см. рис.).
Кольцо массой , может двигаться без трения по проволоке в виде дуги
окружности радиусом . Кольцо и муфта связаны лёгкой нитью длиной . Система
находится в одной горизонтальной плоскости. В некоторый момент нить составляет угол ,
с направлением движения муфты и угол , с направлением движения
кольца.
1. Найти скорость кольца в этот момент.
2. Найти скорость кольца относительно муфты в этот момент.
3. Найти силу натяжения нити в этот момент.
(«Физтех», 2020, 11)
Источники:
1) Поскольку нить нерастяжима проекции скорости кольца и муфты на направление нити равны, отсюда:
2) Относительно муфты кольцо движется вокруг неё по окружности с радиусом . Построим параллелограмм со сторонами ( - скорость кольца относительно муфты в интересующий нас момент) и , тогда по теореме косинусов:
3) Запишем второй закон Ньютона для кольца в проекциях на оси и , в лабораторной системе отсчёта и системе отсчета, связанной с муфтой, соответственно:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На горизонтальном столе находится доска, на которой укреплён неподвижный блок, а также бруски,
соединённые нитью. Массы брусков , . Коэффициент трения скольжения верхнего
бруска по нижнему равен , трение между доской и нижним бруском отсутствует. Доску приводят в
движение с постоянным ускорением, направленным вправо. Массой нити и блока, а также трением в оси
блока можно пренебречь.
1) Найдите максимальное ускорение доски, при котором бруски не будут проскальзывать
относительно друг друга.
2) Найдите силу натяжения нити, если доска движется с ускорением .
(Физтех, 2022, 9)
1) Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось, направленной вправо:
Тогда:
2) Пусть - это ускорение брусков относительно доски, тогда второй закон Ньютона для тел:
Следовательно:
Критерии оценивания выполнения задачи | Баллы |
Записан второй закон Ньютона для брусков | 2 |
Записан второй закон Ньютона для доски | 2 |
Выражена Сила натяжения нити | 2 |
Представлен правильный ответ | 4 |
Максимальный балл | 10 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На горизонтальном столе лежат два одинаковых кубика, связанных пружинкой (см. рисунок). Масса каждого кубика . Правый кубик соединен с легкой чашей нерастяжимой нить, перекинутой через блок. Коэффициент трения между кубиками и столом . В исходном состоянии пружина не деформирована. Грузик какой минимальной массы нужно осторожно (без толчка) положить на чашу, чтобы левый кубик сдвинулся с места? Нить, пружину и блок считайте невесомыми.
Источники:
Левый кубик сдвинется с места, когда сила упругости растянутой пружины станет равной по модулю максимальному значению силы трения покоя, удерживающей его на месте, т.е. при условии, что , где – коэффициент жесткости пружины, – растяжение. До тех пор, пока левый кубик остается неподвижным, растяжение пружины совпадает с модулем перемещения правого кубика и чаши. Масса грузика, лежащего на чаше, минимальна, если левый кубик начнет сдвигаться в момент, когда правый кубик остановится. В этом случае изменение потенциальной энергии грузика расходуется только на работу против сил трения при движение правого кубика и потенциальную энергию деформации пружины. Имеем
Учитывая, что жесткость пружины может быть выражена через как
в итоге получаем величину минимальной массы
(Официальное решение Ломоносов)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На горизонтальной опоре находится куб, на котором укреплены два блока. Через блоки перекинута нить
с грузами массами , и . Какой горизонтальной силой надо действовать на куб, чтобы он
покоился? Трение между кубом и опорой отсутствует; коэффициент трения между верхним телом и
кубом — .
(«Росатом», 2017, 9–10)
Источники:
Чтобы куб покоился, сумма сил, действующих на него, должна равняться нулю. На куб действуют: сила тяжести ( – масса куба), верхнее тело с силой , сила реакции опоры , сила трения со стороны верхнего тела (направленная вправо, т.к. верхнее тело движется вправо), внешняя горизонтальная сила , удерживающая куб в покое (направленная, очевидно, влево), и нити, переброшенные через блоки. Нити действуют на куб через блоки, причем каждая нить оказывает воздействие в горизонтальном ( и ) и вертикальном ( и ) направлениях (см. рисунок).
Поэтому условие равновесия куба дает
где и – силы натяжения левой (связанной с меньшим грузом) и правой нитей соответственно,
– сила трения. Таким образом, чтобы найти силу , надо найти силы натяжения нитей и силу
трения.
Поэтому рассмотрим задачу динамики для трех тел, скрепленных нитями, при нулевом ускорении куба.
На меньшее тело действуют: сила тяжести и сила натяжения левой нити. На верхнее тело: сила тяжести,
сила реакции куба, сила трения, силы натяжения левой и правой нитей. На большее тело: сила тяжести
и сила натяжения правой нити. Поэтому второй закон Ньютона для всех тел в проекциях на
направления движения каждого тела имеет вид
(здесь использована одинаковость ускорений тел и одинаковость сил натяжения, действующих со стороны разных концов нитей). Решая систему уравнений (2), находим
Теперь из формулы (1) и второго уравнения системы (2) находим силу
при , тела не будут двигаться по кубу, поэтому и куб будут стоять. . Таким образом
|
(Официальное решение Росатом)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
К левому концу идеальной нити, переброшенной через невесомый блок, подвешен груз массы , а по
правой части нити скользит с постоянной относительно нити скоростью кольцо массы (см. рис.).
Найти ускорение груза и силу трения, действующую на кольцо. Ускорение свободного падения
считать известным.
(«Будущие исследователи — будущее науки», 2018, 11)
Источники:
Ускорение кольца направлено вверх и равно по величине ускорению груза. Записывая второй закон Ньютона для груза и кольца в виде:
Учитывая, что действующая на кольцо сила трения равна силе натяжения нити , находим ускорение и силу трения:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На гладком горизонтальном столе лежит доска массой и длиной . На краю доски
стоит маленький брусок массой . К бруску привязана длинная невесомая нерастяжимая нить,
переброшенная через гладкую трубу, закрепленную на краю стола. К вертикальному концу нити подвешивают груз
массой и отпускают его без толчка. Найдите время , за которое брусок соскользнет с доски.
Коэффициент трения скольжения бруска по доске ; ускорение свободного падения .
(«Курчатов», 2022, 11)
Источники:
Запишем второй закон Ньютона для бруска, груза и доски в неподвижной системе отсчёта, связанной со столом:
Здесь - ускорение бруска и груза, - ускорение доски, - сила натяжение нити, - сила трения скольжения, действующая между бруском и доской. Из этих уравнений находим ускорения:
Ускорение бруска относительно доски равно:
Относительно доски брусок проходит расстояние . Из этого условия находим время :
(Официальное решение Курчатов)
Критерии оценивания выполнения задачи | Баллы |
Правильно записан второй закон Ньютона для бруска, груза и доски | 3 |
Правильно найдены ускорения бруска и доски | 2 |
Правильно рассмотрено относительное движение бруска и доски | 2 |
Получено верное выражение для | 2 |
Получен правильный численный ответ | 1 |
Максимальный балл | 10 |