Формула тонкой линзы —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#41604

Трапеция $ABCD$ расположена так, что её параллельные стороны $AB$ и $CD$ перпендикулярны главной оптической оси тонкой линзы (см. рисунок). Линза создаёт действительное изображение трапеции $ABCD$ в виде прямоугольника. Если повернуть трапецию $ABCD$ на $180∘$ вокруг стороны $AB$ , то линза создаёт её изображение в виде трапеции с теми же самыми углами. С каким увеличением изображается сторона $AB$ ?
(МФТИ, 1992)

Показать ответ и решение

Первое положение: продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в фокусе линзы.

Второе положение: продолжения боковых сторон трапеции пересекаются в точке, соответствующей двойному фокусу линзы Таким образом, $AB$ находится на расстоянии $d = 3F ∕2$ от линзы, $f = 3F$ и $Γ = f∕d = 2$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#41605

Прямоугольный аквариум длины $L = 50$ см разделён перегородкой на два отсека 1 и 2. В центре перегородки находится симметричная двояковыпуклая линза. На задней стенке аквариума, в центре, нарисована стрелка (рис.). Длина стрелки равна $h$ . Если в отсек 1 аквариума налить жидкость, то на передней стенке отсека 2 появится чёткое изображение стрелки. Длина изображения стрелки $h1 = 4,5$ мм. Если ту же жидкость налить во второй отсек аквариума, вылив её из первого, то на той же стенке отсека 2 вновь будет видно чёткое изображение стрелки. Длина $h2 = 2$ мм. Найдите длину стрелки $h$ , показатель преломления $n$ жидкости и расстояние между линзой и стенками аквариума.
(Всеросс., 1994, финал, 11)

Показать ответ и решение

На рисунке 1 показах ход луча, вышедшего из вершины стрелки в направлении оптического центра линзы. Для каждого из двух случаев имеем:

a) $n α = α1,α = h∕a,α1 = h1∕b$ ,

nh-= h1; (1 ) a b

б) $α = nα2,α2 = h2∕b$ ,

h- h2- a = n b . (2)

Разделив (1) на (2), получим для показателя преломления

∘ h-- n = --1. (3) h2

Из (1) и (3) получим:

∘ ----- h = (a∕b) h1h2 (4)

Найдем $a$ . Формула тонкой линзы имеет вид $1 1 1 a + b = F0$ (рис. 2). Для малых углов из нее следует соотношение $φ + φ = φ 1 2 0$ , где $φ − 0$ угол, под которым из фокуса виден радиус линзы. Применительно к нашей задаче, в силу симметрии линзы фокусное расстояние системы будет одним и тем же независимо от того, в какую часть аквариума налита жидкость. Обозначим это расстояние символом $F$ и положим $rF-= φ$ (здесь $r−$ радиус линзы). Тогда, если жидкость в правом отсеке, то $φ1n + φ2 = φ$ , а если в левом, то $φ1 + nφ2 = φ$ . Взяв разность двух последних уравнений, получим

φ1 (n − 1) = φ2(n − 1)

Поскольку $n ⁄= 1$ , то, сокращая последнее равенство на $(n − 1)$ , получим $φ1 = φ2$ и, следовательно, $a = b = L ∕2$ . Тогда формула (4) принимает вид:

∘ ----- h = h1h2

Подставляя в полученные выше выражения числовые значения входящих в них величин, находим:

n = 1,5; a = b = 25 см; h = 3 м м

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#50819

Тонкая линза создаёт изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси, с увеличением $Γ$ = 4. Предмет перемещают (не трогая линзу) вдоль главной оптической оси и получают изображение с тем же увеличением. При этом предмет остаётся по одну сторону линзы.
1) Линза собирающая или рассеивающая?
2) Найти отношение перемещения предмета к фокусному расстоянию линзы.
(«Физтех», 2016, 11)

Показать ответ и решение

1) Линза не может быть рассеивающей, так как изображение в рассеивающей линзе всегда уменьшенное. Соответственно, как бы мы не двигали предмет, изображение всегда будет либо уменьшаться, либо увеличиваться и не будет равным изначальному. Значит, линза собирающая.
2) Так как увеличение одно и тоже, то в одном из случаев изображение мнимое, а в другом действительное.
Запишем формулу тонкой линзы, обозначив $d1$ и $d2$ – расстояние от линзы до изображения в первом и во втором случае соответственно

1- -1- --1- 1- -1- -1-- F = d + Γ d ; F = d − Γ d 1 1 2 2

Откуда

F(Γ + 1 ) F(Γ − 1 ) d1 = --------- d2 = --------- Γ Γ

Откуда перемещение

Δd = d − d = F-(Γ + 1 − Γ + 1 ) = 2 F 1 2 Γ Γ

Отсюда искомая величина

-x 2- 1- F = Γ = 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#50820

Яхту фотографируют с расстояния $d1$ = 52 м с помощью объектива с фокусным расстоянием $F1$ = 40 мм. Модель яхты фотографируют с расстояния $d2$ = 60 см с помощью объектива с фокусным расстоянием $F 2$ = 80 мм. На плёнке размеры изображений яхты и модели одинаковы. Во сколько раз отличаются линейные размеры яхты и её модели? Объектив считать тонкой линзой, относительно которой отсчитываются все расстояния.
(МФТИ, 2008)

Источники: МФТИ, 2008

Показать ответ и решение

Запишем формулу тонкой линзы для яхты и фигурки, а также формулу увеличения

1-- 1-- 1- -h- l1- F = d + l Γ 1 = H = d 1 1 1 1 1

1 1 1 h l ---= --+ -- Γ 2 = --- = -2- F2 d2 l2 H2 d2

Из формулы тонкой линзы:

-F1d1--- -52-- l1 = d1 − F1 = 1299 м

F d 6 l2 = ---2-2--= --- м d2 − F2 65

Так как высота изображений равна

H1l1- H2l2- H1- l2d1 d1 = d2 ⇒ H2 = l1d2 ≈ 200

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#50821

Точечный источник света $S$ расположен на расстоянии $a$ = 40 см от собирающей линзы на её главной оптической оси. Оптическая сила линзы $D$ = 5 дптр. При повороте линзы на некоторый угол $α$ (см. рисунок) относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через оптический центр линзы, изображение источника сместилось на $Δl$ = 10 см. Найти угол поворота линзы $α$ .

(МФТИ, 1997)

Источники: МФТИ, 1997

Показать ответ и решение

Так как оптическая сила линзы $D = 5$ дпт, ее фокусное расстояние равно

F = 1-= 20см D

Значит, предмет находится в двойном фокусе, и изображение $S ′$ также будет находится на расстоянии $2F = a$ . При повороте линзы на угол $α$ ее главная оптическая ось тоже поворачивается на угол $α$ , а изображение $S′′$ смещается на $δl$ . Изобразим это на рисунке.

Новое расстояние от предмета до линзы $f1 = A = a cosα$ , а расстояние от линзы до изображения $f = (a + Δl )cosα 2$ . Тогда по формуле тонкой линзы:

1 1 D = -------+ -------------- a cosα (a + Δl )cos α

Откуда

( ) cos α = -1 a +-Δl-+-a- = -1--⋅ 2a +-Δl-= 0, 9 D a(a + Δa ) Da a + Δl

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#50822

Для определения показателя преломления неизвестной прозрачной жидкости экспериментатор Глюк положил на дно мензурки монету и налил в неё исследуемую жидкость. Толщина слоя жидкости $H$ = 27 см. Далее он сфотографировал монету с высоты $h$ = 37 см над поверхностью жидкости и получил резкое изображение, диаметр которого в $k$ = 10 раз меньше диаметра монеты. Фокусное расстояние объектива $F$ = 50 мм.
Оптическая ось объектива перпендикулярна поверхности жидкости.
1) Какое расстояние $d$ было установлено на шкале дальности объектива?
2) Найдите показатель преломления $n$ жидкости.
(«Физтех», 2013)

Источники: Физтех, 2013

Показать ответ и решение

Для фотоаппарата предметом будет изображение монеты после выхода лучей из жидкости. Так как показатель преломления жидкости $n$ , то изображение будет на расстоянии $H -n$ от поверхности жидкости. При этом размер этого изображения будет равен размеру монеты.

1) Пусть Г - поперечное увеличение в объективе, $f$ – расстояние от объектива до изображения в фотоаппарате. Запишем формулу тонкой линзы:

1 1 1 -+ --= -- d f F

Увеличение размера изображения в линзе $fd =$ Г $= 1k$ . Отсюда

d = F (k + 1) = 11F = 55см

2) Найдем теперь показатель преломления жидкости. Так как изображение получилось резким, предмет (изображение монетки после выхода лучей из жидкости) должен находится на расстоянии $d$ от фотоаппарата. Расстояние от фотоаппарата до поверхности жидкости равно $h$ , отсюда

h + H--= d n

Тогда

--H--- -----H------- n = d − h = F (k + 1) − h = 1,5

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#50824

С помощью тонкой линзы на экране получено изображение нити небольшой лампочки, развёрнутой перпендикулярно оси линзы, с увеличением $|Γ | = 2,5$ . Когда экран придвинули к линзе на расстояние $s = 8$ см, то для получения нового чёткого изображения лампочку пришлось сдвинуть вдоль оси на расстояние $s′$ = 1,6 см. Каким стало увеличение изображения?

(«Покори Воробьёвы горы!», 2016, 10–11)

Источники: Покори Воробьёвы горы!, 2016, 10–11

Показать ответ и решение

Поскольку изображение получается на экране, то это действительное изображение, линза является собирающей, и нить лампы находится от линзы на расстоянии $a$ , превышающем фокусное расстояние линзы $F$ . Из формулы линзы

1 1 1 aF bF --+ --= -- ⇒ b = ------ a = -----. a b F a − F b − F

Поэтому модуль увеличения

|Γ | = |b| =--F--- = b-−-F-. |a| a − F F

Используя эти формулы, найдем, что новое увеличение

′ b − s − F s s ′ |Γ | = ----F-----= |Γ | − F ⇒ F- = |Γ | − |Γ |.

И одновременно

1 a + s′ − F 1 s′ --′-= -----------= ---+ --. |Γ | F |Γ | F

Откуда

s′ -1-- -1- |Γ-| −-|Γ ′| F = |Γ ′| − |Γ | = |Γ ||Γ ′|

В результате находим:

s-= |Γ ||Γ ′| ⇒ |Γ ′| =-s-- s′ s′|Γ |

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#51586

В отверстие радиусом $R = 1$ см в тонкой непрозрачной перегородке вставлена тонкая рассеивающая линза. По одну сторону перегородки на главной оптической оси линзы расположен точечный источник света. По другую сторону перегородки на расстоянии $L = 24$ см от нее находится экран. Радиус светлого пятна на экране $r1 = 4$ см. Если линзу убрать, то радиус пятна на экране станет $r2 = 2$ см.
1) Найти расстояние от источника до линзы.
2) Определить фокусное расстояние линзы.

Показать ответ и решение

Пусть источник $S$ расположен на расстоянии $d$ от линзы (см. рис.), а его мнимое изображение $S1$ находится на расстоянии $|f |$ от линзы. Из подобия треугольников $SCB$ и $SAO$