Поперечное и продольное увеличение —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31776

Тонкая линза создаёт изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси, с некоторым увеличением. Предмет перемещают (не трогая линзу) вдоль главной оптической оси на расстояние $0,4F$ ( $F$ – модуль фокусного расстояния линзы) и получают изображение с тем же увеличением. При этом предмет остаётся по одну сторону линзы.
1) Линза собирающая или рассеивающая?
2) Найти увеличение.
(«Физтех», 2016, 11 )

Показать ответ и решение

1) Собирающая
2) Так как увеличение одно и тоже, то в одном из случаев изображение мнимое, а в другом действительное.
Запишем формулу тонкой линзы, обозначив $d1$ и $d2$ – расстояние от линзы до изображения в первом и во втором случае соответственно

1 1 1 1 1 1 -- = ---+ ----; -- = ---− ---- F d1 Γ d1 F d2 Γ d2

Откуда

d = F(Γ-+-1-) d = F(Γ-−-1-) 1 Γ 2 Γ

Откуда перемещение

F- F- Δd = d1 − d2 = Γ (Γ + 1 − Γ + 1 ) = 2 Γ

Отсюда искомая величина

2F 2F γ = ----= ------= 5 Δd 0,4F

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#31777

Тонкая линза создаёт изображение предмета, расположенного перпендикулярно главной оптической оси. Если, не трогая линзу, передвинуть предмет вдоль оптической оси на $x = 4$ см по направлению к линзе, то получится изображение с тем же увеличением, находящееся на расстоянии $y = 9$ см от старого изображения. Найдите фокусное расстояние линзы.
(«Физтех», 2010 )

Показать ответ и решение

Так как увеличение одно и тоже, то в одном из случаев изображение мнимое, а в другом действительное.
Запишем формулу тонкой линзы, обозначив $d 1$ и $d 2$ – расстояние от линзы до изображения в первом и во втором случае соответственно

1- = -1-+ --1-; 1- = -1-− -1-- F d1 Γ d1 F d2 Γ d2

Откуда

F(Γ + 1 ) F(Γ − 1 ) d1 = --------- d2 = --------- Γ Γ

Откуда перемещение

x = d1 − d2 = F-(Γ + 1 − Γ + 1) = 2F- Γ Γ

Запишем формулу тонкой линзы, обозначив $f1$ и $f2$ – расстояние от линзы до изображения в первом и во втором случае соответственно

-1 Γ-- 1-- 1- -Γ- 1-- F = f + f ; F = f − f 1 1 2 2

Откуда

f1 = F (Γ + 1) f2 = F (Γ − 1)

Откуда перемещение

y = f1 + f2 = 2F Γ

Следовательно:

y --= Γ 2 x

F = y--= 1√xy-- 2Γ 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#31778

Нить лампочки накаливания длиной $l$ размещена вдоль главной оптической оси тонкой собирающей линзы с $|F| >> l$ . Изображение нити имеет 5-кратное увеличение. Каким станет увеличение, если нить повернуть на $90 ∘$ , не меняя её положения?
(«Покори Воробьёвы горы!», 2018, 10–11 )

Показать ответ и решение

В первом случае для «дальнего» края нити, находящегося на расстоянии $a$ от линзы, изображение находится на расстоянии $b$ от линзы, которое можно найти по формуле тонкой линзы:

1-+ 1-= 1-⇒ b = --aF-- a b F a − F

Аналогично для другого края

--1-- --1-- 1- ′ -(a −-l)F-- a − l + b + l′ = F ⇒ b + l = a − l − F

Следовательно, размер изображения

F 2 l′ = ------------------l (a − F )(a − l − F )

С учетом малости $l$ продольное увеличение

F 2 Γ 1 =--------2 (F − a)

После поворота соотношение поперечных размеров изображения и предмета равно соотношению расстояний до линзы

|| || --- √ -- Γ ⊥ = |b|= ---F--- = √ γ1 = 5 |a| |F − a|

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Формула тонкой линзы	2

Формула продольного увеличения линзы	2

Сказано, что происходит после поворота	2

Найден размер изображения	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31779

Площадь изображения треугольника $ABC$ в 4,5 раза меньше площади самого треугольника. Определить, с каким увеличением $Γ$ изображается сторона $BC$ , если точка $A$ лежит в фокусе рассеивающей линзы (см. рисунок).
(МФТИ, 1993 )

Показать ответ и решение

Поскольку катет $BC$ перпендикулярен главной оптической оси, то, после прохождения через линзу, изображение этого катета тоже будет перпендикулярно главной оптической оси, тогда изображение $A ′B ′C ′$ треугольника $ABC$ будет так же являться прямоугольным треугольником. Запишем условие на отношения площадей:

1AC ⋅ BC = 91-A′C ′ ⋅ B ′C ′ 2 22

9- ′ ′ ′ ′ AC ⋅ BC = 2A C ⋅ B C

По теореме о продольном увеличении

A′C ′ = Γ AΓ C AC

где $Γ B = Γ C = Γ BC$ , т.к. точки B и C лежат на одной прямой и BC перпендикулярно главной оптической оси. Тогда

9- AC ⋅ BC = 2 Γ AΓ CΓ BC AC ⋅ BC

9 1 = -Γ AΓ 2BC 2

По формуле тонкой линзы для точки А:

-1- − -1-= − 1- dA fA F

2 1 1 1 --= ---⇒ fA = -F ⇒ Γ A = -- F fA 2 2

Откуда

4- 2 2- 9 = Γ BC ⇒ Γ BC = 3

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Использована теорема о продольном увеличении	2

Формула тонкой линзы	2

Сказаны, увеличения каких точек равны	2

Сказано, что изображения треугольника будет также прямоугольным треугольником	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#41166

Две тонкие линзы расположены друг за другом так, что их главные оптические оси совпадают. Фокусное расстояние первой линзы $F1 = − 2$ см, а второй $F2 = 1,5$ см. Эта система создаёт изображение спички, расположенной перпендикулярно главной оптической оси и длиной 2 см. Величина изображения $h = 1$ см, а само оно получилось перевёрнутое. Какой будет величина изображения, если линзы поменять местами?
(Всеросс., 2020, МЭ, 11)

Показать ответ и решение

Первый вопрос, встающий при решении данной задачи – где расположена вторая линза?
Поскольку по условию изображение получилось перевёрнутым, следовательно, для второй линзы изображение действительное. Значит, предмет, который для неё, очевидно, будет мнимым, должен находится дальше фокусного расстояния (это также следует из того, что $|F2| < |F1|$ ).
При построении будет очевидно, что только одно положение подходит для того, чтобы изображение было уменьшенным в два раза по сравнению с предметом – положение, когда расстояние между первой линзой и второй равно $F2$ . В любом другом случае, изображение получится либо больше, либо меньше $h1$ .
После перестановки линз, спичка окажется на двойном фокусном расстоянии от собирающей линзы.
При аккуратном построении получится следующая картина:

1 1 1 dF ---= --+ --⇒ f = d′ =----2-- = 3 см F2 d f d − F2 1 1 1 ′ |F1 |d′ − |F-| = − d′ + f′ ⇒ f = |F-|-−-d′ = 6 см 1 1

′ Γ = f- = h2-= 4 ⇒ h ′ = 2 см d′ h′

так как мнимый предмет для второй линзы по размеру равен спичке (спичка находится на двойном фокусном расстоянии от первой линзы). $h2 = 8$ см.

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#41168

На расстоянии $a = 20$ см от тонкой собирающей линзы вдоль ее главной оптической оси расположена тонкая короткая палочка. Длина ее действительного изображения, даваемого линзой, в $k = 9$ раз больше длины палочки. Во сколько раз изменится длина изображения, если сдвинуть палочку вдоль оси на $Δa = 5$ см дальше от линзы?
Примечание. При $|x| ≪ 1$ справедлива формула $1∕(1 + x) ≈ 1 − x$ .

(Всеросс., 2015, МЭ-Омск, 11)

Показать ответ и решение

Пусть фокусное расстояние линзы $F$ , длина палочки $l$ , длина её изображения $L$ , причём $l ≪ a,L ≪ b$ , где $b$ - расстояние от изображения палочки до линзы. Тогда в соответствии с формулой тонкой линзы, для положений одного из концов палочки и его изображения имеем:

1-+ 1-= 1- (1) a b F

Если второй конец палочки находится ближе к линзе, то можно записать:

--1-- --1--- -1 a − l + b + L = F

или

1 1 1 1 1 --⋅---------+ --⋅----------= -- a 1 − (l∕a ) b 1 + (L∕b) F

Поскольку $1 ∕(1 + x ) ≈ 1 − x$ при $x ≪ 1$ , то последнее соотношение можно переписать в виде:

( ) ( ) 1- l- 1- L- 1- a 1 + a + b 1 − b ≈ F (2)

Вычитая из (2) соотношение (1), получаем:

-l-− L-≈ 0 a2 b2

откуда продольное увеличение линзы $k = L ∕l = (b∕a )2$ , и $√ -- b = ka$ . Подставляя это выражение для $b$ в соотношение (1), получаем

√ -- F = √--ka--- k + 1

При новых расстояниях от палочки до линзы $a = a + Δa 1$ , от изображения до линзы $b = -a1F- 1 a1−F$ и новой длине изображения $L1$ для нового коэффициента увеличения имеем:

( ) ( ) ( √- ) 2 L1 b1 2 F 2 √kk+a1- k1 = -l-= a-- = a--−-F- = ( ----------√ka--) 1 1 a + Δa − √k+1

( √ -- )2 k = ---------√--ka------√---- 1 (a + Δa )( k + 1) − ka

Отсюда искомое отношение длин изображений палочки равно

( )2 n = L1-= k1= ---------√-a--------√---- = (------------1-----------)-- L k (a + Δa )( k + 1) − ka ( Δa) √ -- √ -- 2 1 + a ( k + 1) − k

1 1 n = (--------√-------)2 = -- 1 + Δa( k + 1) 4 a

т.е. длина изображения уменьшится в 4 раза.

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#48484

На поверхности воды, с показателем преломления $n$ , плавает плоско-выпуклая линза c фокусным расстоянием $F$ . На расстоянии $l$ от неё и на расстоянии $h$ от главной оптической оси находится тело.
1) Найдите, на каком расстоянии от поверхности жидкости находится изображение.
2) Найдите скорость изображения, если тело двигается со скоростью $v$ перпендикулярно главной оптической оси.
3) Найдите скорость изображения, если тело двигается параллельно главной оптической оси, со скоростью $v$ .

Показать ответ и решение

1) Если бы не было воды, то мы бы могли воспользоваться ФТЛ, но в данном случае, у нас будет эффект сокращения видимого расстояния.
2) Если у нас бы не было линзы, то используя закон преломления, получили бы следующее:

sinα = nsin β

Из двух треугольников:

l sin α = l1sinβ

Тогда: $l1 = nl$ , то есть в воде изображение находится дальше. Теперь объединим ФТЛ и 2ой пункт, и получим на каком расстоянии находится изображение:

-lF--- ′ -nlF-- l2 = l − F ⇒ l = nl2 = l − F

$′ l$ – расстояние до изображения от поверхности воды.
3) В воде у нас расстояние от ГОО до изображения не будет зависеть от показателя преломления, тогда с помощью увеличения линзы: