Скорость изображения —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#37013

Линза с фокусным расстоянием $F = 20 см$ движется со скоростью $V = 1 мм/ с$ (см. рис.). Стержень $AB$ длиной $h = 1 см$ , расположенный перпендикулярно главной оптической оси линзы $CC 1$ , движется со скоростью $U = 3V ∕2$ . Все движения – поступательные вдоль главной оптической оси линзы. В некоторый момент стержень находится на расстоянии $d = 3F ∕2$ от линзы.
1) На каком расстоянии от линзы будет изображение стержня в этот момент?
2) Какой длины будет изображение стержня в этот момент?
3) С какой скоростью будет двигаться изображение точки $A$ стержня в этот момент?
(«Физтех», 2018, 11)

Показать ответ и решение

1) Согласно формуле тонкой линзы, расстояние от предмета до линзы $d$ , расстояние от линзы до изображения $f$ и фокусное расстояние $F$ связаны соотношением:

1-= 1-+ 1- F d f

1 1 1 1 f-= 20-− 30- = 60-⇒ f = 60 см

2) Линейное увеличение для изображения предмета тонкой линзой равно:

Γ = f- = 60-= 2 ⇒ H = Γ ⋅ h = 2 см d 30

3) Скорость предмета относительно линзы: $Vотн = U − V$
Так как предмет движется в горизонтальной плоскости, параллельно главной оптической оси, то будем использовать продольное увеличение линзы:

Vо′тн = Γ 2Vотн = Γ 2(U − V)

Перейдём обратно, с систему отсчёта связанную с Землёй, тогда скорость изображения $′ V$ будет равна:

′ ′ 2 V = V отн + V = Γ (U − V) + V = 3 мм/ с

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#37014

Комар пересекает главную оптическую ось собирающей линзы на расстоянии $a = 3F∕4$ , где $F$ — фокусное расстояние линзы, под малым углом $α$ к оси линзы со скоростью $v$ (см. рисунок).
1) Под каким углом изображение комара пересекает главную оптическую ось линзы?
2) Чему равна в этот момент скорость изображения комара?
Указание. Для малых углов $sinα ≈ tgα ≈ α$ .
(МФТИ, 2002 )

Источники: МФТИ, 2002

Показать ответ и решение

Построим изображение:

Согласно формуле тонкой линзы, расстояние от предмета до линзы $d$ , расстояние от линзы до изображения $f$ и фокусное расстояние $F$ связаны соотношением:

1 1 1 --= --− -- F d f

1-= -4-− 1-= -1- ⇒ f = 3F = AB f 3F F 3F

Направление скорости $u$ определим исходя из того, что чем ближе у нас предмет к линзе, тем дальше от линзы будет находиться изображение этого предмета.
В треугольнике $ABC$ :

CB tg β = ---- AB

В треугольнике $DCB$ :

CB tg α = ---- DB

tg-β = -1- ⋅ 3F = 1- tg α 3F 4 4

tg α tg β = ---- 4

Так как углы малы, то:

α β = -- 4

Линейное увеличение для изображения предмета тонкой линзой равно:

Γ = f-= 12F-= 4 d 3F

Разложим вектор скорости $u$ на проекции $ux$ и $uy$ , где направления $x$ – вдоль главной оптической оси, а $y$ – перпендикулярно ей, тогда проекцию скорости по оси $y$ сможем найти с помощью поперечного увеличения:

uy = Γ vy = Γ v sinα

sin β = uy-= Γ v-sin-α u u

Γ v-sin-α Γ vα- 4v-⋅ α-⋅ 4 u = sinβ = β = α = 16v

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#37015

Фокусное расстояние собирающей линзы равно $F$ . Муха в некоторый момент пересекает главную оптическую ось линзы на расстоянии от линзы $7F∕5$ , двигаясь со скоростью $v$ под углом $α$ ( $tg α = 4∕3$ ) к оси линзы (см. рисунок).
1) На каком расстоянии от линзы находится изображение мухи в этот момент?
2) Под каким углом изображение мухи пересекает главную оптическую ось?
3) Найдите скорость изображения мухи в этот момент.
(«Физтех», 2014)

Показать ответ и решение

Согласно формуле тонкой линзы, расстояние от предмета до линзы $d$ , расстояние от линзы до изображения $f$ и фокусное расстояние $F$ связаны соотношением:

1-= 1-+ 1- F d f

1 1 5 2 7F f-= F-− 7F-= 7F- ⇒ f = -2-

Построим изображение:

Направление скорости $u$ определим исходя из того, что чем ближе у нас предмет к линзе, тем дальше от линзы будет находиться изображение этого предмета.
В треугольнике $ABC$ :

tg α = CB-- AC

В треугольнике $DCB$ :

CB-- tg β = CD

2tg α 4 2 8 tgβ = ------= --⋅--= --- 5 3 5 15

Разложим вектор скорости $u$ на $x$ и $y$ , тогда проекцию скорости по оси $y$ сможем найти с помощью поперечного увеличения:

uy- Γ-vy Γ-vsinα- sin β = u = u = u

Γ v sin α f ⋅ v ⋅ 4 ⋅ 17 5 4 ⋅ 17 17 u = --------= ----------- = --⋅------= --v sin β d ⋅ 5 ⋅ 8 2 5 ⋅ 8 4

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#37016

Таракан ползёт со скоростью $v = 2$ см/с к рассеивающей линзе с фокусным расстоянием (по модулю) $F = 30$ см вдоль прямой, параллельной её главной оптической оси и расположенной на расстоянии $r = 3F ∕4$ от оси (см. рисунок). В некоторый момент таракан находится на расстоянии $4F$ от линзы.
1) На каком расстоянии от линзы находится изображение таракана в этот момент?
2) Под каким углом к главной оптической оси движется изображение таракана? (Найти значение любой тригонометрической функции угла.)
3) Найдите скорость изображения таракана в этот момент.
(«Физтех», 2014 )

Показать ответ и решение

Согласно формуле тонкой линзы, расстояние от предмета до линзы $d$ , расстояние от линзы до изображения $f$ и фокусное расстояние $F$ связаны соотношением

− -1 = 1-− 1- F d f

1 1 1 5 4F f-= 4F-+ F-= 4F- ⇒ f = -5-

Построим изображение:

Направление скорости $u$ определим исходя из того, что чем ближе у нас предмет к линзе, тем больше будет становиться угол наклона прямой, проходящей церез центр линзы.

tgβ = r- = 3F- = 3- F 4F 4

Разложим вектор скорости $u$ на $x$ и $y$ , тогда проекцию скорости по оси $x$ сможем найти с помощью продольного увеличения:

2 cos β = ux-= Γ-v- u u

-Γ 2v --5v- 1-- u = cos β = 52 ⋅ 4 = 20v

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#41167

Действительное изображение точечного источника в тонкой собирающей линзе движется по плоскому экрану, перпендикулярному её главной оптической оси и расположенному на расстоянии $b$ от линзы. Вектор скорости изображения лежит в плоскости, проходящей через главную оптическую ось линзы. Модуль скорости изображения $v$ . Найдите модуль $V$ скорости источника, если фокусное расстояние линзы равно $F$ .
(Всеросс., 2019, МЭ-Амур, 11)

Показать ответ и решение

Пусть в момент времени $t$ источник находится в точке $S$ , а его изображение – в точке $S1$ (см. рисунок).

За время $Δt$ источник и изображение переместятся и в момент времени $t + Δt$ займут положения $S ′$ и $S ′ 1$ , соответственно, причём $S′S = V Δt$ , а $S ′S = vΔt 1$ . Так как $△ASC$ подобен $△S BC 1$ , a $△S ′SC$ подобен $ΔS ′1S1C$ , справедливо равенство

′ -S-S- = AC-- S ′1S1 BC

В соответствии с формулой линзы

1 1 1 ----+ ----= -- AC BC F

где $BC = b$ . Отсюда следует, что

AC--= --F--- BC b − F

Объединяя записанные выражения, получаем:

F v V = ------ b − F

(Официальное решение ВсОШ)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#51168

Муравей ползёт со скоростью $v = 3 см/с$ к собирающей линзе с фокусным расстоянием $F = 20 см$ вдоль прямой, параллельной её главной оптической оси и расположенной на расстоянии $R = 8F ∕15$ от оси (см. рисунок). В некоторый момент муравей находится на расстоянии $3F$ от линзы.
1) На каком расстоянии от линзы находится изображение муравья в этот момент?
2) Под каким углом к главной оптической оси движется изображение муравья? (Найти значение любой тригонометрической функции угла.)
3) Найдите скорость изображения муравья в этот момент

(«Физтех», 2014)

Показать ответ и решение

1) По условию $d = 3F$ , тогда по формуле тонкой линзы

1-+ 1-= 1-⇒ f = 3F = 30 см d f F 2

2) Поскольку скорость изображения направлена вдоль того же луча, что и скорость предмета, из рисунка найдем:

tgα = R- = 8-- F 15

3) Увеличение линзы

f- 1- Γ = d = 2

Проекции скоростей предмета и изоражения вдоль главной опстической оси линзы связаны продольным увеличением линзы, отсюда:

ux = Γ 2V

ux = u cosα

Γ 2V- 17- u = cosα = 60V = 0,85 см/ с

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#51169

Оптическая система состоит из тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F = 25 см$ , небольшого плоского зеркала и экрана Э (см. рисунок). Плоскость зеркала составляет угол $∘ 45$ с главной оптической осью линзы. Расстояние между линзой и зеркалом равно 50 см. Шарик S находится на расстоянии $d = 30 см$ от линзы и колеблется вблизи оптической оси, двигаясь перпендикулярно ей и имея максимальную скорость $v = 3 см/с$ . На экране наблюдается резкое изображение шарика.
1) На каком расстоянии от линзы и где надо было бы поместить экран для наблюдения изображения при отсутствии зеркала?
2) Найдите расстояние между зеркалом и экраном.
3) Найдите максимальную скорость изображения на экране

(«Физтех», 2015, 11)

Показать ответ и решение

1) Действительное изображение $S1$ в линзе образуется на расстоянии $f$ , которое можем найти по формуле тонкой линзы:

1-+ 1-= 1-⇒ f = -dF--- = 150 см d f F d − F

На расстоянии $f = 150 см$ от линзы и надо поместить экран при отсутствии зеркала.
2) Пусть $b = 50 см$ – расстояние между линзой и зеркалом. $S1$ является мнимым предметом для зеркала. В зеркале получится действительное изображение $S2$ , его можно получить на экране Э, расположенном на расстоянии $X = f − b = 100 см$ от зеркала.
3) $f- Γ = d$ – поперечное увеличение в линзе. У нас $Γ = 5$ . Скорость предмета максимальна при прохождении положения равновесия, в этот момент она перпендикулярна главной оптической оси линзы, тогда максимальная скорость изображения связана с максимальной скоростью предмета поперечным увеличением линзы $u = Γ v = 5v$ . Скорость изображения в зеркале не изменится: $u = 5v = 15 см/с$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#51170

На главной оптической оси тонкой рассеивающей линзы с фокусным расстоянием $F = 20 см$ расположено плоское зеркальце на расстоянии $L = 5,1F$ от линзы (см. рисунок). Зеркальце вращается с постоянной угловой скоростью $ω$ вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку A. На расстоянии $d = 9F$ от линзы расположен точечный источник света S. В некоторый момент времени скорость перемещения изображения, полученного в результате однократного прохождения лучей от источника $S$ через линзу и отражения в зеркальце, была равна $v = 12 см/ с$ и параллельна прямой CB, составляющей угол $∘ β = 10$ с главной оптической осью.

1) На каком расстоянии от точки A находится изображение?
2) Найдите угловую скорость $ω$ вращения зеркальца и угол $α$ между его плоскостью и главной оптической осью в указанный момент времени.
(МФТИ, 1995)

Источники: МФТИ, 1995

Показать ответ и решение

1) По формуле тонкой линзы найдем расстояние до мнимого изображения:

1- 1- 1- -F-d-- d − f = − F ⇒ f = F + d = 0,9F

Мнимое изображение в линзе является действительным предметом для зеркала, расстояние до изображения в зеркале от точки А равна расстояние от точки А до предмета, т.е. изображения в линзе

f + L = 6F = 120 см

2) Вектор скорости изображения $⃗v$ перпендикулярен отрезку $′′ AS$ , где $′′ S$ – изображение в зеркале, т.к. этот отрезок является радиусом вращения изображения в зеркале, с оптической осью вектор скорости составляет угол

β = 2α − π- 2

Тогда

2β + π α = -------= 50∘ 4

Модуль скорости изображения равен:

v = ω ′′R = Δ-β-AS ′′ = 2Δ-α-AS ′′ = 2ω6F = 12ωF Δt Δt

Откуда

--v- ω = 12F = 0,05 рад/с

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#51173

В комнате на столе лежит плоское зеркало, на котором находится тонкая плоско-выпуклая линза с фокусным расстоянием $F = 40 см$ . По потолку AB ползёт муха со скоростью $v = 2 см/ с$ (см. рисунок). Расстояние от потолка до зеркала $h = 220 см$ .
1) На каком расстоянии от зеркала находится изображение мухи в данной оптической системе?
2) Чему равна скорость изображения мухи в тот момент, когда она пересекает главную оптическую ось линзы (точка C)?
(МФТИ, 1998)

Источники: МФТИ, 1998

Показать ответ и решение

1) Построим изображение мухи в оптической системе линза – зеркало – линза. На рисунке точка $M1$ – первое изображение мухи, даваемое линзой, а $M2$ – изображение мухи, даваемое линзой после отражения лучей от зеркала. Запишем формулу линзы для первого случая:

1 1 1 --+ --= -- h a F

и для второго:

− 1+ 1-= -1 a b F

Отсюда находим искомое расстояние

--F-h-- b = 2h − F = 22 см

2) Из подобия треугольников $OCM$ и $ODM2$ имеем

CM vΔt h ----- = ----= --, DM2 uΔt b

где $u$ – скорость изображения мухи.
Таким образом,

b u = v--= 0,2 см/ с. h

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#51174

Маленький воздушный пузырёк всплывает по центру прямоугольного сосуда, заполненного прозрачной жидкостью с показателем преломления $n = 1,4$ (см. рисунок). С помощью собирающей линзы с фокусным расстоянием $F = 24 см$ его изображение наблюдают на экране Э. Скорость перемещения изображения пузырька на экране в момент пересечения главной оптической оси линзы равна $v = 80 см/ с$ . Определить скорость $u$ пузырька. Линейные размеры: $l = 56 см$ , $L = 10 см$ .

(МФТИ, 1995)

Источники: МФТИ, 1995

Показать ответ и решение

Распространение света от пузырька через слой жидкости толщиной $l∕2$ и преломление на плоской границе жидкость-воздух эквивалентно прямолинейному распространению света от мнимого изображения пузырька, расположенного от границы раздела двух сред на расстоянии $h = l∕2n$ . Здесь и далее речь идет о световых лучах, распространяющихся под малыми углами к главной оптической оси линзы (условие параксиальности). Мнимое изображение пузырька считаем предметом для линзы, оно расположено на расстоянии $l∕2n + L$ от линзы, а его изображение в линзе получается на экране. Воспользовавшись формулой для тонкой линзы, найдем расстояние $x$ от линзы до экрана

----1---- + 1-= 1-⇒ x = F-(L-+-l∕2n-)-= 120 см L + l∕2n x F L + l∕2n − F

Увеличение линзы

f x F Γ = --= ---------= --------------= 4 d L + l∕2n L + l∕2n − F

Пузырёк движется перпендикулярно оси линзы, а его скорость равна скорости его мнимого изображения, она может быть найдена через поперечное увеличение линзы:

v = Γ u

-v v(L-+--l∕2n-−--F)- u = Γ = F = 20 см/с

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#51175

Жук $S$ ползёт со скоростью $V = 1 см/ с$ вдоль главной оптической оси тонкой линзы c фокусным расстоянием $F = 10 см$ (см. рис.). Между жуком и линзой, перпендикулярно главной оптической оси, расположена стеклянная пластина толщиной $H = 5 см$ с показателем преломления $n = 5∕3$ . В некоторый момент жук находится на расстоянии $d = 14 см$ от линзы.
1) На каком расстоянии от линзы находилось бы изображение жука при отсутствии пластины?
2) На каком расстоянии от линзы находится изображение жука при наличии пластины?
3) С какой скоростью движется изображение жука при наличии пластины?

(«Физтех», 2018, 11)

Показать ответ и решение

1) В отсутствии пластины изображение жука образуется только линзой и расстояние от линзы до него может быть найдено по формуле тонкой линзы:

1+ 1--= -1 ⇒ f1 = --dF-- = 35 см d f1 F d − F

2) Из-за преломления в пластине изображение в ней, которое станет предметом для линзы, будет смещено относительно изначального предмета к линзе на $n − 1 Δ = ------H = 2 см n$ .
Тогда в новой оптической системе:

d2 = d − Δ = 12 см

Вновь воспользовавшись формулой тонкой линзы, получим

d2F f2 = d--−-F-= 60 см 2

3) Поперечное увеличение $Γ = f2-= 5 d2$ .
Поскольку жук движется вдоль оси линзы скорость его изображения может быть найдена при помощи продольного увеличения в линзе:

2 u = Γ V = 25V = 25 см/ с

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#51177

Оптическая система состоит из тонкой линзы с фокусным расстоянием $F$ , плоского зеркала и небольшого экрана Э, расположенного так, что свет от источника $S$ может попасть на линзу только после отражения от зеркала (см. рис.). Зеркало расположено перпендикулярно главной оптической оси $OO1$ линзы. Источник $S$ находится на расстоянии $3F ∕4$ от оси $OO1$ и на расстоянии $F∕2$ от плоскости линзы. Линза и источник неподвижны, а зеркало движется со скоростью $V$ вдоль оси $OO1$ . В некоторый момент зеркало оказалось на расстоянии $F$ от линзы.
1. На каком расстоянии от плоскости линзы наблюдатель $A$ сможет увидеть в этот момент изображение источника в системе?
2. Под каким углом $α$ к оси $OO 1$ движется изображение в этот момент? (Найти значение любой тригонометрической функции угла.)
3. Найти скорость изображения в этот момент.
(«Физтех», 2020, 11)

Показать ответ и решение

1) Расстояние изображения в зеркале равно $d = F + F- = 3F- 2 2$ , то есть сумме расстояния от линзы до зеркала и расстояния от источника до зеркала. Расстояние до изображения в оптической системе можно найти по формуле тонкой линзы

1 1 1 dF --= --+ --⇒ f = ------= 3F F d f d − F

2) Построим изображение в искомый момент и из рисунка найдем тангенс угла под которым движется изображение:

3F ∕4 3 tgα = ----- = -- F 4

3) Поперечное увеличение $f Γ = d-= 2$ .
Скорость изображения в зеркале $2V$ . Поскольку изображение в зеркале, которое является для линзы предметом, движется вдоль оси линзы, скорость изображения в системе может быть найдена при помощи продольного увеличения в линзе:

ucos α = Γ 22V

Γ 22V u = ------= 10V cos α

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#51585

На главной оптической оси тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F$ расположен источник света. Расстояние от источника света до линзы $2F$ . Линзу начинают поворачивать в плоскости, содержащей главную оптическую ось, с постоянной угловой скоростью $ω$ . Найдите скорость изображения источника света в момент, когда расстояние между источником и главной оптической осью равно $F$ .
(«Курчатов», 2019, 11)

Источники: Курчатов, 2019, 11

Показать ответ и решение

Рассмотрим момент, когда ось повернулась относительно первоначального пололжения на некоторый угол $φ$ . Поскольку луч, проходящий через центр линзы, всегда соединяет источник света и его изображение, движение самого изображения будет направлено вдоль этого луча. Введем расстояние от центра линзы до изображения вдоль центрального луча и обозначим его за $L$ . Из рисунка видно, что $L = b∕cosφ$ , где $b−$ расстояние от изображения до линзы (не до центра линзы!). Расстояние от источника до линзы также легко определить: $a = 2F cosφ$ . Подставляя выражения для $a$ и $b$ в формулу тонкой линзы

1-+ 1 = 1, a b F

получаем

-1---aF-- ----2F2---- ----2---- L = cosφa − F = 2F cosφ− F = F2 cosφ − 1

Искомая скорость получается простым дифференцированием по времени выражения для $L$ :

v = ˙L = F ⋅2 ⋅ (− 1)⋅(− 2-sinφ-⋅2 ˙φ). (2cosφ − 1)

Учитывая, что $˙φ = ω$ , получаем:

--4-sinφ----- v = Fω (2 cosφ − 1)2

Осталось найти угол при котором, выполняется условие, что расстояние между источником света и оптической осью равно $F$ (условие можно было прочитать двояко; второй вариант, что расстояние между изображением и оптической осью равно $F$ ). В первом случае угол определяется немедленно:

F-- 1 sinφ0 = 2F = 2 → φ0 = π∕6,

а итоговое значение скорости приобретает вид:

2 1 v = F ω-√-----2 = F ω---√- ≈ 3,73Fω. ( 3− 1) 2 − 3

Во втором случае, условие на угол имеет вид

{ } sinφ = F∕L = L = F----2---- = cosφ − 1 . 0 2cosφ − 1 0 2

Возводя в квадрат полученное тригонометрическое уравнение, получим

1 3 sin 2φ0 = 3∕4 → φ0 = 2 arcsin 4.

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Правильно записна формула тонкой линзы	1

Верно найдено расстояние от центра линзы до изображения источника	3

Верно найден угол $φ0$	4

Получен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

08 Скорость изображения