Равноускоренное движение. Векторный подход - Техника —Каталог задач по Олимпиадной физике

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#26491

С поверхности земли под углом $α$ к горизонту выстрелила пушка. Через время $τ$ она поразила наземную цель. Определите дальность полёта снаряда. Пушка и её цель неподвижны и расположены на одном горизонтальном уровне. Сопротивлением воздуха пренебречь. Размеры пушки, её снаряда и цели не учитывать.

Показать ответ и решение

Запишем зависимость перемещения от времени:

−→ −→ −→g τ2 L = v0τ + ----- 2

Нарисуем треугольник перемещений

Откуда $ctgα$

2 ctgα = -L--⇒ L = gτ--ctgα gτ2- 2 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#26492

С обрыва под углом $α$ к горизонту бросили камушек со скоростью $v0 = 6 м/ с$ . Сколько времени камушек находился в полёте, если его конечная скорость составила $v = 8 м/с$ и была направлена под углом $90∘ − α$ к горизонту? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Показать ответ и решение

Запишем зависимость скорости от времени в вектороном виде:

−→ −→ −→ v = v0 + g τ

Нарисуем треугольник скоростей

Заметим, что он прямоугольный:

Откуда

∘ ------- gτ = v2 + v2 0

Выразим время

∘ ------- ∘ -------------------- --v20-+-v2- --36-м2/с2-+-64-м2/-с2 τ = g = 10 м/с2 = 1 с

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#26493

С обрыва под углом $α = 30∘$ к горизонту бросили камушек со скоростью $v0 = 10 м/с$ . Сколько времени камушек находился в полёте, если его конечная скорость была направлена под углом $∘ 60$ к горизонту? Сопротивление воздуха не учитывать.

Показать ответ и решение

Угол между $v0$ и $v$ равен $90∘$ .
Пусть начальный угол равен $α$ , а конечный $∘ 90 − α$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых.
При этом:

−→v = −→v + −→g τ 0

Нарисуем треугольник скоростей:

Заметим, что он прямоугольный:

Тогда из прямоугольного треугольника:

sin α = v0-⇒ τ = --v0---= ---10-м/с----= 2 с gτ g sin α 10 м/с2 ⋅ 0,5

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#26494

Камень бросили со скоростью $v0$ под углом $α$ к горизонту. Чему равно его перемещение, если он летел до падения время $τ$ ? Сопротивление воздуха не учитывать.

Показать ответ и решение

Запишем зависимость вектора перемещения от времени:

−→ −→ −→g τ2 L = v0τ + ----- 2

Нарисуем треугольник перемещений:

Воспользуемся теоремой косинусов для угла $90 − α$

∘ --------2-4-------------2------------- 2 2 g-τ-- gτ-- L = v0τ + 4 − 2 ⋅ v0τ ⋅ 2 cos(90 − α)

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#26495

С крутого берега реки со скоростью $v0$ бросили камень под углом $α$ к горизонту. С какой скоростью он упал в воду, если время полёта составило $τ$ ? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Показать ответ и решение

Запишем зависимость скорости от времени в векторном виде:

−→ −→ −→ v = v0 + g τ

Нарисуем треугольник скоростей:

Воспользуемся теоремой косинусов:

v2 = v2+ g2 τ2 − 2v0g τ cos(90∘ − α ) 0

Откуда

∘ ---------------------- v = v20 + g2τ2 − 2vg τ sinα

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#26496

Камушек бросили со скоростью $v0$ под углом $α$ к горизонту. Через какое время угол между вектором скорости и горизонтом составит угол $β$ ( $β < α$ )? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Показать ответ и решение

Нарисуем треугольник скоростей

Катет, лежащий против угла $α$ равен $v0 sin α$ , а прилежащий $a = v0cos β$ , тогда $x$ - время за которое скорость тела стала бы горизонтальной, равен

x = v0sinα − g τ1

Откуда тангенс угла $β$

x- v0sinα-−--gτ1 v0 tg β = a = v cosα ⇒ τ1 = g (sin α − tgβ cosα ) 0

Теперь рассмотрим второй случай

Катет, лежащий против угла $α$ равен $v0 sin α$ , а прилежащий $a = v0cos β$ , тогда $x$ - ускорение свободного падения умножениое на время за которое угол между горизонтом и конечной скоростью станет равен $β$ , равен

x = gτ − v sin α 2 0

Откуда тангенс угла $β$

tg β = x-= gτ1 −-v0sinα- ⇒ τ2 = v0(sin α + tgβ cosα ) a v0cosα g

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#26497

Начальная скорость тела, брошенного под углом к горизонту, равна $v0 = 10 м/с$ , а спустя время $τ = 0, 8 с$ скорость камня стала равна $v = 6 м/ с$ . На какую максимальную высоту над начальным уровнем поднимется камень? Сопротивление воздуха не учитывать.

Показать ответ и решение

Запишем зависимость скорости от времени:

−→ −→ −→ v = v0 + g t

Нарисуем треугольник скоростей

Заметим, что 6, 8, 10 образуют прямоугольный треугольник, следовательно, синус альфа равен

8 sin α = ---= 0,8 10

Воспользуемся формулой для максимальной высоты полёта: Так как скорость направлена параллельно горизонту, то это максимальная высота

g(2τ)2- v0sin-α h(t) = v0sin α2 τ − 2 = 0, τ = g

2 2 2 h = v0 sin ατ − g-τ- = v0-sin-α- = 3,2 м 2 2g

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#26498

Со скалы, возвышающейся над морем на высоту $h = 15 м$ , бросили камень со скоростью $v0 = 10 м/с$ . Найти время полёта камня, если известно, что непосредственно перед падением в воду его скорость была направлена под углом $α = 120 ∘$ к направлению бросания. Сопротивление воздуха не учитывать.

Источники: МОШ, 2018, 9

Показать ответ и решение

Запишем зависимость скорости от времени в векторном виде

−→ −→ −→ v = v0 + g τ

Нарисуем треугольник скоростей

Конечную скорость можно найти из закона сохранения энергии

2 2 mv-0-+ mgh = mv---⇒ v2 = v2+ 2gh 2 2 0

Воспользуемся теоремой косинусов

∘ --------------------------------- 2 2 2 2 ∘ 1 2 ∘ -2------- g τ = v 0 + v − 2v0v cos120 ⇒ τ = -- 2v0 + 2gh + 2v0 v0 + 2gh sin 30∘ g

Подставляем числа из условия

∘ ---------------------------√---------------------- τ = -1- 2 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 ⋅ 15 + 2 ⋅ 10 ⋅ 100 + 2 ⋅ 10 ⋅ 15 ⋅ 0,5 = 2,6 с 10

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#26499

Из точки А под разными углами к горизонту одновременно бросили два камня с одинаковыми по величине начальными скоростями. Они приземлились в точке B, причём время полёта первого из них составило $t 1$ , а второго – $t 2$ ( $t > t 2 1$ ). Точки А и В находятся на одном горизонтальном уровне. Пренебрегая сопротивлением воздуха, ответьте на вопросы:
1. Чему равна величина $v0$ начальной скорости камней?
2. Найдите расстояние AB (горизонтальную дальность полёта)?
3. Под каким углом к горизонту бросили каждый из камней?

Показать ответ и решение

В рассматриваемых треугольниках перемещения нам неизвестны углы, поэтому запишем теорему Пифагора сразу для обоих:

$2 2 1 2 2 S = (v0t1) − (2gt1)$
$S2 = (v0t2)2 − (1gt22)2 2$

Приравняв эти уравнения, получаем, что $1 v20(t22 − t21) = 4 g2(t42 − t41)$ ,
откуда $v = 1g∘t2--+-t2- 0 2 2 1$ , тогда, подставляя в первое уравнение,
имеем

∘ ------------------- 1gt22 + t21t21 − 1g2t41 S = ---2------------4---- v20

Теперь с легкостью можем определить углы: $sinα = gt1 2v0$ , $sinβ = gt2- v0$ ,
откуда $sin α t sin-β = t12$ .
Определим косинус каждого угла:
$cosα = v0St1,cosβ = vS0t2$ $⇒$ $cocossαβ-= t2t1-$ $⇒$ $ssininαβ-= t1t2-$ $⇒$ $sin2α = sin 2β$ .
Синус принимает одно и то же значение при двух разных углах, дополняющих друг друга до $π$ , тогда $2α = π − 2β$ $⇒$ $α = 1 π − β 2$ . Из треугольника перемещений определим $1 2 tgα = 2gt1= t1 s t2$ , откуда $S$ = $1 2gt1t2$

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#26500

Из одной точки, расположенной достаточно высоко над поверхностью земли, одновременно вылетают две частицы с горизонтальными противоположно направленными скоростями $v1$ и $v2$ . Через какое время $τ$ угол между направлениями скоростей этих частиц станет равным $90∘$ ? На каком расстоянии друг от друга они при этом будут находиться? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Показать ответ и решение

Нарисуем треугольник скоростей

Найдем гипотенузы треугольников

∘ ---------- ∘ ---------- c1 = v2+ g2 τ2 c2 = v2+ g2τ 2 1 2

Также заметим, что $c21 + c22 = (v1 + v2)2$ Откуда

√ ---- v2+ g2 τ2 + v2 + g2τ 2 = v2 + 2v v + v2 ⇒ τ = --v1v2 1 2 1 1 2 2 g

Частицы удаляться друг от друга будут только по горизонтальной оси, а по вертикальной двигаться с одинаковой скорость, следовательно, расстояние между ними составит

√ ---- (v1-+-v2)--v1v2 L = (v1 + v2)τ = g

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Нарисован треугольник скоростей	2

Записана формула нахождения времени	2

Записана формула нахождения расстояния между частицами	2

Использована теорема Пифагора	2

Представлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#26501

Над горизонтальной поверхностью земли на несколько осколков разорвался снаряд. Они разлетелись во все стороны с одинаковыми по величине начальными скоростями. Осколок, полетевший вертикально вниз, достиг земли за время $t 1$ . Осколок, полетевший вертикально вверх, упал на землю через время $t2$ . Пренебрегая сопротивлением воздуха, ответьте на вопросы:
1. Чему равна величина начальной скорости осколков?
2. На какой высоте над поверхностью земли разорвался снаряд?
3. Какой максимальной высоты над поверхностью земли достиг осколок, полетевший вертикально вверх?
4. Сколько времени падали осколки, полетевшие горизонтально?
5. Какое расстояние по горизонтали они преодолели?

Показать ответ и решение

Перемещения обоих тел одинаково, значит их можно приравнять. Тогда

2 2 S = υ0t1 + gt1 = − υ0t2 + gt2 2 2

Откуда

1- 2 2 1- υ0 (t2 + t1) = 2g(t2 − t1) ⇒ υ0 = 2g (t2 − t1)

Чтобы определить высоты подставим найденную скорость в выражение для перемещения:

1 gt21 1 h = | ⃗S |=--g(t2 − t1)t1 +---= -gt1t2 2 2 2

Разность времени вертикальных осколков равна двойнуму прохождению осколком полетевшим вверх расстояние от места взрыва до максимальной высоты:

2 (t2−t1)2 t2 − t1 = 2τ, hmax = h + gτ--= 1gt1t2 + g---2---- 2 2 2

Начальная вертикальная скорость тел полетевших горизонтально равна нулю и из формул кинематики для оси y:

2 √---- h = | gt3 |= 1-gt1t2 ⇒ t3 = t1t2 2 2

Расстояние по горизонтали можно найти, умножив скорость на время полета этих осколков:

1- √ ---- L = | υ1t3 |= υ0t3 = 2g(t2 − t1) t1t2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#26502

Шарик свободно падает с высоты $h$ на наклонную плоскость, составляющую угол $α$ с горизонтом. Определите расстояние между её точками, в которых шарик совершил первый и второй удары. Соударения шарика с плоскостью считать абсолютно упругими.

Показать ответ и решение

Определим скорость, с которой шарик упадет на плоскость, из закона сохранения энергии:

∘ ---- υ0 = 2gh

Нарисуем треугольник перемещений (см. рис). Из того, что при упругом ударе угол падения равен углу отражения получаем, что треугольник - равнобедренный. Тогда можно приравнять равные стороны этого треугольника:

2 υ0t = gt- 2

Откуда

2υ0- t = g

Опустим высоту из верхней вершины. Так как треугольник равнобедренный, то высота так же является медианой:

S- ∘ 2υ20- 2 = υ0t cos(90 − α) = υ0tsinα = g sin α

Если подставим скорость, то получим искомое

S = 8hsin α

Ответ:

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Нарисован треугольник перемещений	2

Найдена скорость при падении из закона сохранения энергии	2

Сказано, что угол падения равен углу отражения при упругом ударе	2

Найдено время падения	2

Записана формула нахождения нужного расстояния и редставлен правильный ответ	2

Максимальный балл	10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#26503

Под каким углом к горизонту необходимо бросить камень с обрывистого берега реки, чтобы он упал в воду как можно дальше от берега? Высота обрыва $h = 20 м$ , начальная скорость камня $V0 = 14 м/ с$ . Сопротивлением воздуха пренебречь.

Показать ответ и решение

Запишем зависимость вектора перемещения от времени:

−→ −→ −→g t2 S = v0t + ---- 2

Нарисуем треугольник перемещений, проведем перпендикуляр, который будет являться $L$ , так как это проекция $−→S$ Из вектороного треугольника перемещений имеем, что

2 2 1 2 2 2 v0t = (-gt − h) + Lmax 2

, где $t$ - время, за которое достигается наибольшее расстояние от берега. Возьмем производную от

2 2 2 1- 2 2 L max = v0t − (2gt − h)

2v20t − g2t3 + 2ght = 0

и праравняем ее к нулю. Получим, что

729t = 100t3

Откуда

t ≈ 2,81425 с

Подставим это времся в формулу $Lmax = v0tcos α$ , откуда

∘ α = 30

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#26504

Тело бросили под углом к горизонту. Известно, что время полёта тела равно $τ$ , а отношение максимальной и минимальной скоростей тела в процессе движения $vmax∕vmin = k$ . Определить дальность полёта. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Показать ответ и решение

Из векторного треугольника скоростей следует, что скорость минимальна, когда она является перпендикуляром к вектору $g$ , при этом эта скорость является проекцией скорости на ось х, которая не изменяется, то есть $L = V t$ . Распишем теорему Пифагора для треугольника скоростей:

1 k2v2 = --g2τ2 + v2, 4

тогда

∘ ------- gτ2 gτ2 L = vτ = -2-4--τ = -√--2----- k − 1 2 k − 1

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#26505

Мяч, брошенный одним игроком другому под углом к горизонту со скоростью $v0 = 20 м/ с$ , достиг высшей точки траектории через секунду. На каком расстоянии друг от друга находились игроки? Сопротивление воздуха не учитывать, ускорение свободного падения принять равным $10 м/c2$ .

Показать ответ и решение

Весь полет в силу симметрии параболы длился по времени $2τ$ .

−→S = 2−→v0 τ + 2−→g τ2

Применим треугольник перемещений, в котором учтем, что вектор перемещения – горизонтален. Следовательно – сам треугольник – прямоугольный! Тогда можно воспользоваться теоремой Пифагора:

4υ20τ2 = L2 + 4g2τ 4

Откуда:

∘ ---------- L = 2τ υ20 − g2τ2 = 35 м.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#26506

Школьник бросает мяч в баскетбольное кольцо. Чтобы попасть в цель при броске под углом $∘ α1 = 30$ к горизонту, он должен сообщить мячу начальную скорость $v1 = v$ , а при броске под углом $α = 60 ∘ 2$ – начальную скорость $v = v ∕2 2$ . На какой высоте $h$ над точкой бросания расположено баскетбольное кольцо? Под каким углом $β$ к горизонту наклонён отрезок, соединяющий точку бросания и кольцо? Бросок каждый раз производится из одной и той же точки. Сопротивлением воздуха можно пренебречь, ускорение свободного падения равно $g$ .

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой траектории движения:

---gx2---- y = tg αx − 2v2 cos2α 0

Пусть кольцо находится на высоте $h$ и на расстоянии $L$ от точки броска, тогда

2 h = tg α1,2L − -----gL------ 2v21,2 cos2α1,2

Приравняв уравнения для $α1, v1$ и $α2,v2$ , находим, что

√3v2 L = ------ 11g

Тогда

9v2 h = ----- 121g

√ -- h- 3--3- β = arctg L = arctg 11

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#48130

Скорость камня $v0$ , брошенного под углом $φ = 60∘$ к горизонту, уменьшилась вдвое за $Δt = 1 с$ . Найдите модуль перемещения $S$ , которое за это время совершил камень.
Примечание. Ускорение свободного падения считайте равным $g = 10 м/ с2$ .

(Всеросс., 2012, РЭ, 9)

Источники: Всеросс., 2012, РЭ, 9

Показать ответ и решение

Проекция начальной скорости на горизонтальную ось:

vx = v0cos α = v0 . 2

Из курса геометрии известно, что катет, прилежащий к углу $φ = 60∘$ вдвое меньше гипотенузы. Отсюда мы заключаем, что через время $Δt$ скорость камня будет направлена горизонтально (см. рис.). Проекция начальной скорости камня на вертикальную ось: