Задачи №13 из ЕГЭ прошлых лет —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 13. Решение уравнений

13.01 Задачи №13 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 61#24820

a) Решите уравнение $3 √ - √ - 2sin x + 2cos2x + sinx = 2.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 7π;−2π . 2$

Источники: ЕГЭ 2022, резервная волна

Показать ответ и решение

a) Распишем косинус двойного угла по формуле

2 cos2x = 1− 2sin x

Тогда имеем:

$pict$

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств.

$pict$

Тогда указанному отрезку принадлежат корни

− 2π; − 3π; − 13π 4

Ответ:

a) $πk;$ $π- 4 +2πk;$ $3π 4 + 2πk,$ $k ∈ℤ$

б) $− 2π;−3π;− 13π- 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 62#53573

а) Решите уравнение $3⋅9x+1− 5⋅6x+1 +8 ⋅22x =0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − π-;π . 2$

Источники: ЕГЭ 2021, досрочная волна

Показать ответ и решение

а)

3 ⋅9x+1− 5 ⋅6x+1+ 8⋅22x = 0 3⋅9x+1− 5⋅(3⋅2)x+1+ 2⋅4 ⋅4x = 0 x+1 x+1 x+1 x+1 3 ⋅9 − 5 ⋅3 ⋅2 + 2⋅4 = 0

Разделим обе части уравнения на $4x+1 :$

x+1 x+1 x+1 x+1 3⋅9x+1-− 5⋅ 3--⋅x2+1--+ 2-⋅x4+1- = 0 4 ( ) 4 ( ) 4 3⋅ 9 x+1− 5⋅ 3 x+1+ 2= 0 4 2 (( )x+1)2 ( )x+1 3 ⋅ 3 − 5⋅ 3 + 2= 0 2 2

Пусть $(3)x+1 2 = t.$ Сделаем замену:

3t2− 5t+ 2 =0 2 D = 5 − 4⋅3⋅2= 1 t = 5±-1 1,2 6 t1 = 1 t2 = 2 3

Сделаем обратную замену:

⌊( 3)x+1 ⌊( 3)x+1 ( 3)0 | 2 = 1 | 2 = 2 |⌈( 3)x+1 2 ⇔ |⌈( 3)x+1 ( 3)−1 ⇔ 2 = 3 2 = 2 [ [ x +1 = 0 x= −1 ⇔ x +1 = −1 ⇔ x= −2

б) Так как $2 <π < 4,$ то

− 4< −π < −2< 2π − 2< − π2 < − 1< π

Значит, из двух корней уравнения отрезку $[ π ] − 2;π$ принадлежит только $x = −1.$

Ответ:

а) $− 2;$ $− 1$

б) $− 1$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 63#24819

a) Решите уравнение $( π- ) √ - 3 7sin 2 − x − 4 3sinx cosx = 4cos x.$

6) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π ;4π . 2$

Источники: ЕГЭ 2021, резервная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения $(π- ) sin 2 − x = cosx.$ Тогда имеем:

$pict$

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств вида $5π-≤ x ≤4π. 2$

$pict$

Ответ:

a) $π- 3 + 2πk;$ $2π 3 + 2πk;$ $π- 2 + πk,$ $k ∈ ℤ$

б) $5π; 2$ $8π; 3$ $7π- 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 64#13552

а) Решите уравнение $√- (π ) cos(2x)+ 2cos 2 − x − 1 = 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ ] 5π ;4π . 2$

Источники: ЕГЭ 2020, основная волна, Центр

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулами приведения и формулой косинуса двойного угла:

(π- ) cos 2 − x = sinx cos2x = 1− 2sin2x

Тогда получим

1− 2sin2x + √2sin x− 1= 0 2 √- 2sin x −√-2sin x= 0 2 -2- sin x− 2 sin√x-= 0 ( --2) sinx sinx− 2 =0 ⌊ ⌈sinx= 0√- sinx= 22 ⌊ x = πk, k ∈ℤ ||| π ⌈x = 4 +2πk, k ∈ ℤ x = 3π4 + 2πk, k ∈ℤ

б) Отберем корни с помощью неравенств с учетом $k ∈ℤ.$

5π ≤ πk ≤ 4π ⇔ 5 ≤ k ≤ 4 2 2

Отсюда получаем $k = 3,x= 3$ и $k = 4,x = 4π.$

5π π 5 1 2-≤ -4 + 2πk ≤ 4π ⇔ 2 ≤ 4 +2k ≤ 4 9 15 8 ≤ k ≤ 8

Отсюда получаем $k ∈ ∅.$

5π ≤ 3π +2πk ≤ 4π ⇔ 5 ≤ 3+ 2k ≤ 4 2 4 2 4 7 ≤ k ≤ 13 8 8

Отсюда получаем $k = 1,x= 11π . 4$

Ответ:

а) $πk;$ $π- 4 +2πk;$ $3π 4 + 2πk,$ $k ∈ℤ$

б) $11π; 4$ $3π;$ $4π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 65#19494

а) Решите уравнение $3 √- 2 √- 2cosx + 3cos x+ 2cosx+ 3 =0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ π] −2π;− 2-.$

Источники: ЕГЭ 2020, основная волна

Показать ответ и решение

а)

$pict$

Заметим, что при любых $x$ верно $2 cosx +1 > 0,$ значит, можем разделить на это выражение левую и правую части равенства. Тогда получим

$pict$

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств.

$pict$

Ответ:

а) $5π 6 + 2πk;$ $5π- − 6 + 2πk,$ $k ∈ ℤ$

б) $− 7π ; 6$ $− 5π 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 66#24811

а) Решите уравнение $( π- ) cos2x+ sin 2 + x + 1 =0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 5π;−π . 2$

Источники: ЕГЭ 2020, основная волна

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой приведения $( π- ) sin 2 + x =cosx,$ а также формулой косинуса двойного угла $2 cos2x= 2cosx − 1:$

$pict$

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств.

$pict$

Ответ:

а) $π- 2 + πk;$ $2π- 3 + 2πk;$ $2π − 3 + 2πk,$ $k ∈ ℤ$

б) $− 5π ; 2$ $− 3π; 2$ $− 4π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 67#24812

а) Решите уравнение $2( 3π ) √- 2cos 2 + x + 3sin x= 0$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π 2 ;4π .$

Источники: ЕГЭ 2020, основная волна

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой приведения $( ) cos 3π +x = sin x: 2$

( ) √ - 2cos2 3π + x + 3sinx = 0 2 - 2sin2 x+ √3sinx= 0 ( √-) sinx 2sinx+ 3 = 0 ( √ -) sinx sinx+ --3 = 0 2 ⌊ ⌊ sinx = 0 | x= πk,π k ∈ ℤ ⌈ sinx = − √3 ⇔ |⌈ x= − 3 + 2πk, k ∈ ℤ 2 x= − 23π+ 2πk, k ∈ℤ

б) С помощью тригонометрической окружности отберём корни:

$511π01ππ 34π233π-$

Таким образом, подходят корни $3π;$ $10π -3-;$ $11π -3-;$ $4π.$

Ответ:

а) $πk;$ $π- − 3 + 2πk;$ $2π − 3 +2πk,$ $k ∈ ℤ$

б) $3π;$ $4π;$ $10π-; 3$ $11π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 68#24813

а) Решите уравнение $2( 3π ) 2cos 2 +x = sin2x.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 9π − 2 ;−3π .$

Источники: ЕГЭ 2020, основная волна

Показать ответ и решение

а)

2( 3π ) 2cos 2- +x = sin2x

Разложим синус по формуле двойного угла ( $sin 2x = 2sinx cosx$ ), а также воспользуемся формулой приведения ( $cos(3π+ x)= sinx 2$ ):

$pict$

Так как $sinx= 0$ не является решением уравнения $sinx− cosx= 0$ , можем поделить обе части этого уравнения на $sinx$ :

$pict$

Ответ: $πk, π-+πk, k ∈ ℤ 4$

б)

9π − 2 ≤ x ≤ −3π

$pict$

Ответ: $− 3π, − 4π, − 15π- 4$

Ответ:

а) $πk;$ $π- 4 +πk,$ $k ∈ ℤ$

б) $− 3π;$ $− 4π;$ $− 15π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 69#16754

а) Решите уравнение $( 2 ) log5 x − 4x = 1.$

б) Укажите его корни на отрезке $[log3(0,1);log310].$

Источники: ЕГЭ 2020, резервная волна

Показать ответ и решение

а) По свойствам логарифма имеем:

log (x2 − 4x)= 1 5( 2 ) log5 x − 4x = log55 {x2 − 4x = 5 2 x − 4x > 0 x2− 4x− 5= 0 (x− 5)(x +1)= 0 x = −1; 5

б) Отберем подходящие корни с помощью двойного неравенства

log3(0,1) ≤x ≤ log310

При этом учтем, что

log3(0,1)= log3-1 10

Таким образом, получаем

log 1-≤ x≤ log 10 3 10 3

Посмотрим, подходят ли $x= −1$ и $x= 5.$

Заметим, что $x = −1= log 1. 3 3$ Логарифм по основанию 3 — возрастающая функция, а $1 1 10 < 3 < 10,$ поэтому

log 1-< log 1< log 10 3 10 3 3 3

$x= 5 =log335 = log3243.$ Но $10< 243,$ поэтому

− log310< log310 <log3243

Получили, что на отрезке $[log(0,1);log 10] 3 3$ лежит только $x= − 1.$

Ответ:

а) $− 1;5$

б) $− 1$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 70#24810

а) Решите уравнение $--1-- -3-- cos2x − cosx + 2= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 3π;− 3π . 2$

Источники: ЕГЭ 2020, резервная волна

Показать ответ и решение

а) Обозначим $-1-- t= cosx,$ тогда имеем:

-3-- cosx = 3t ( )2 --12- = -1-- = t2 cos x cosx

Тогда исходное уравнение примет вид

t2 − 3t+ 2= 0 (t− 2)(t− 1)= 0 ⌊ ⌈t= 1 t= 2

Введем обратную замену:

⌊ ⌊-1- ⌈t = 1 ⇔ ⌈cosx = 1 t= 2 c1osx = 2 ⌊ ⌊ x = 2πk, k ∈ ℤ ⌈cosx = 1 ⇔ |||x = π+ 2πk, k ∈ℤ cosx = 12 ⌈ 3 x = − π3 +2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни с помощью неравенств.

1) x = 2πk : 3π 3 3 − 3π ≤ 2πk ≤ − 2 ⇔ − 2 ≤ k ≤ − 4 |----| k = −1 ⇒ x =-−2π-| π- 2) x = 3 +2πk : π 3π 10 11 − 3π ≤ 3-+2πk ≤ −-2 ⇔ −-3 ≤ 2k ≤ −-6 |----| − 10≤ k ≤ − 11 ⇒ k =− 1 ⇒ x= π-− 2π =|− 5π| 6 12 3 ---3-- π 3) x = −3-+ 2πk : π 3π 8 7 − 3π ≤ −3-+ 2πk ≤ − 2 ⇔ − 3 ≤ 2k ≤ − 6 |----| − 8≤ k ≤− 7- ⇒ k =− 1 ⇒ x =− π-− 2π = − 7π| 6 12 3 --3---

Ответ:

а) $π- π- − 3 + 2πk; 3 + 2πk; 2πk, k ∈ ℤ$

б) $− 2π; − 5π; − 7π 3 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 71#24809

а) Решите уравнение: $sin2x+ √2sinx= 2cosx +√2-$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 5π] π;2-$

Источники: ЕГЭ 2019, основная волна

Показать ответ и решение

а)

√ - √ - sin 2x + 2sinx= 2cosx+ 2

ЕГЭ уравнение - 1:

sin2x= 2sinxcosx

Тогда исходное уравнение примет вид:

$pict$

Ответ: $π 3π 5π 2 +2πk, 4-+ 2πk, 4-+ 2πk, k∈ℤ$

б)

[ 5π] x ∈ π;2

Отберем подходящие корни с помощью неравенств:

$pict$

Ответ: $5π 5π- 4 , 2$

Ответ:

а) $π + 2πk, 3π+ 2πk, 5π+ 2πk, k∈ ℤ 2 4 4$

б) $5π 5π 4 , 2$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 72#24806

а) Решите уравнение $2 2log2(2cosx)− 9log2(2cosx)+ 4= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ π ] −2π;−-2 .$

Источники: ЕГЭ 2019, досрочная волна

Показать ответ и решение

а)

2 2log2(2cosx)− 9 log2(2cosx)+4 = 0

Обозначим $log2(2cosx)= t$ , тогда $2 2 log2(2cosx)= t$ и уравнение примет вид:

$pict$

Подставим $t= log2(2 cosx)$

Получим, что

$pict$

Уравнение $cosx =8$ не имеет решений, поэтому остается рассмотреть только корни уравнения $√ - cosx= --2 2$ .

⌊ √ - x = π+ 2πk, k ∈ ℤ cosx= --2 ⇔ |⌈ 4π 2 x = −4-+ 2πk, k ∈ ℤ

Отсюда получаем следующие решения исходного уравнения уравнения:

⌊ | x= π-+ 2πk, k ∈ ℤ ⌈ x= 4− π+ 2πk, k ∈ℤ 4

Ответ: $π π 4-+2πk,− 4 + 2πk, k ∈ ℤ$ .

б)

[ ] x∈ −2π;− π 2

Отберем подходящие корни с помощью неравенств:

$pict$

Ответ: $− 7π 4$

Ответ:

a) $π- π- 4 + 2πk,−4 + 2πk, k ∈ℤ$

б) $− 7π 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 73#24807

а) Решите уравнение $( 4) log7(x +2)= log49 x .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] log6 1 ;log635 . 7$

Источники: ЕГЭ 2019, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Для начала заметим, что

2 4 x > 0 ⇔ x > 0

Тогда верно следующее:

( 4) ( 4) 1 ( 4) (√ -4) ( 2) log49 x = log72 x = 2 log7 x = log7 x = log7 x

Таким образом, исходное уравнение примет вид

$pict$

б)

[ ] x∈ log6 1;log635 7

Число $− 1$ принадлежит заданному отрезку, так как

1 1 log67 < log66 = −1 <1 = log66< log6 35

Число 2 не принадлежит заданному отрезку, так как

log635< log636 = 2

Ответ:

a) $x = −1,$ $x = 2$

б) $x =− 1$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 74#24808

а) Решите уравнение $cosx − cosx 5 4 + 4 = 2.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] −3π;− 3π- . 2$

Источники: ЕГЭ 2019, резервная волна

Показать ответ и решение

cosx − cosx 5 4 + 4 = 2

Обозначим $4cosx = t,t> 0,$ тогда $1 4− cosx = (4cosx)−1 = t−1 =-t$

Тогда исходное уравнение примет вид:

$pict$

Так как $t> 0,$ можем домножить обе части уравнения на $t:$

$pict$

Подставим $cosx t= 4 .$

Получим, что

$pict$

б)

[ 3π] x ∈ − 3π;− 2-

Отберем подходящие корни для каждой серии с помощью неравенств.

Серия $x = π-+2πk : 3$

− 3π ≤ π-+ 2πk ≤ − 3π 3 2 1 3 −3 ≤ 3 + 2k ≤ − 2 10 11 −-3 ≤ 2k ≤ −-6 10 11 − 6-≤ k ≤ − 12 k = −1 π 5π x= 3 − 2π = − 3

Серия $x = − π-+ 2πk : 3$

π- 3π −3π ≤ − 3 +2πk ≤ − 2 1 3 − 3≤ − 3 + 2k ≤ − 2 8 7 −3 ≤ 2k ≤ −6 8 7 −6 ≤ k ≤ −12 k = −1 π 7π x = −3-− 2π = − 3

Серия $x = 2π +2πk : 3$

−3π ≤ 2π+ 2πk ≤− 3π 3 2 −3 ≤ 2+ 2k ≤ − 3 3 2 − 11 ≤ 2k ≤ − 13 3 6 − 11≤ k ≤ − 13 6 12 k = ∅

Серия $2π x = − 3 + 2πk :$

− 3π ≤ − 2π + 2πk ≤ − 3π 3 2 2 3 − 3≤ − 3 + 2k ≤ − 2 7 5 −3 ≤ 2k ≤ −6 7 5 −6 ≤ k ≤ −12 k = −1 2π 8π x= − 3-− 2π =− -3

Таким образом, на отрезке $[ 3π ] −3π;− 2$ лежат корни $8π- − 3 ;$ $7π − 3 ;$ $5π − 3 .$

Ответ:

a) $π- ± 3 + 2πk;$ $2π ± 3 + 2πk,$ $k ∈ℤ$

б) $− 8π ; 3$ $− 7π; 3$ $− 5π 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 75#1307

а) Решите уравнение $cosx+ √2sin (2x + π)= sin2x− 1. 4$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 11π ] −-2-;−4π .$

Источники: ЕГЭ 2018, основная волна

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой $sin(α+ β)= sinαcosβ+ sinβcosα$ :

√-( ) cosx+ 2 sin2x⋅cosπ+ sin π⋅cos2x = sin2x − 1 ⇒ 4 4 √-( √2- √2) cosx+ 2 sin 2x ⋅2 + cos2x ⋅2 =sin2x− 1 ⇒ cosx+ sin2x+ cos2x− sin2x+ 1= 0 ⇒ 2 2 cosx+ (2cos x− 1)+ 1= 0 ⇒ 2cos x+ cosx= 0 ⇒ cosx(2cosx+ 1)=0

Таким образом, либо $cosx= 0$ , либо $2 cosx+ 1= 0$ , откуда получаем серии решений:

$π 2π x = 2 + πk, x= ± 3 +2πn, k,n∈ ℤ$ .

б) Отберем корни.

$11π π 11π 9π −-2- ≤ 2 + πk≤ −4π ⇒ −6≤ k≤ −4,5 ⇒ k= −6;−5 ⇒ x= −-2-;−-2$ $11π 2π 37 7 16π − -2- ≤-3 +2πn ≤− 4π ⇒ − 12-≤ n≤ −3 ⇒ n= −3 ⇒ x= −-3-$ $− 11π-≤ − 2π +2πn≤ −4π ⇒ − 29 ≤n ≤− 5 ⇒ n= −2 ⇒ x= − 14π 2 3 12 3 3$

Ответ:

а) $π + πk,± 2π+ 2πn, k,n ∈ℤ 2 3$

б) $− 11π-;− 16π-;− 14π-;− 9π 2 3 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 76#54405

а) Решите уравнение: $cos2x+ sin x= √2 sin(x + π). 4$

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $[ ] −4π;− 5π . 2$

Источники: ЕГЭ 2018, основная волна

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой $sin (α + β)= sinα cosβ +sinβcosα$ для правой части:

cos2x+ sin x= sinx + cosx ⇔ 2 cos x− cosx= 0 ⇔ cosx(cosx− 1)= 0 ⇔ ⌊ ⌈cosx= 0 cosx= 1 ⇔ ⌊ |x = π+ πn,n ∈ℤ ⌈ 2 x =2πm, m ∈ℤ

б) Отберем корни с помощью числовой окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] −4π;− 5π- , 2$ концы этой дуги, а также те решения, что лежат на этой дуге.

$−−−45π7ππ- 22$

Ответ: $x= − 4π,$ $x= − 7π, 2$ $x =− 5π. 2$

Ответ:

а) $π+ πn,n ∈ℤ; 2$ $2πm, m ∈ ℤ$

б) $7π 5π − 4π;− 2-;−-2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 77#2596

а) Решите уравнение $-cosx--= 1− sin x. 1+ sin x$

б) Найдите все корни данного уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 2π; 7π . 2$

Источники: ЕГЭ 2018, досрочная волна

Показать ответ и решение

а) Перепишем уравнение в следующем виде:

cosx-− (1−-sinx)(1+-sinx) = 0 ⇔ 1+ sinx {cosx− cos2x = 0 ⇔ sinx ⁄= −1 ([ { ccoossxx== 01 (sin x⁄= −1

Пересечем решения данной системы по окружности:

$PIC$

Таким образом, мы видим, что нам подходят только точки $x= 2πn,$ $π x = 2-+2πk$ , $n,k ∈ ℤ.$

б) Отберем корни с помощью неравенств.

7π- 7 2π ≤ 2πn≤ 2 ⇔ 1≤ n ≤ 4 ⇒ n = 1 ⇒ x= 2π π- 7π 3 3 5π 2π ≤ 2 + 2πk ≤ 2 ⇔ 4 ≤ k ≤ 2 ⇒ k = 1 ⇒ x = 2

Ответ:

а) $2πn, π-+2πk, n,k ∈ ℤ 2$

б) $2π; 5π 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 78#1108

а) Решите уравнение $27⋅81sinx− 12 ⋅9sin x+ 1= 0.$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 7π] 2π;-2 .$

Источники: ЕГЭ 2017, основная волна

Показать ответ и решение

а) ОДЗ уравнения: $x ∈ℝ$ .
Сделаем замену $9sinx = t$ , тогда $t> 0$ . Уравнение примет вид:

2 27t− 12t+ 1= 0

По теореме Виета корнями будут $t = 1 9$ и $t= 1 3$ (оба подходят по ОДЗ). Сделаем обратную замену: 1) $9sinx = 1 ⇒ sinx = −1 9$ . Следовательно, $π x = −2-+ 2πn,n∈ ℤ$ . 2) $1 1 π 9sinx = 3 ⇒ sinx= − 2 ⇒ x = −6-+ 2πk$ и $5π x =− -6 +2πm$ , $k,m ∈ ℤ$ .