05 Кинематические связи
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Система состоит из двух массивных грузов, невесомых блоков и невесомой нерастяжимой верёвки.
Средний блок перемещают вниз с ускорением . Ускорение свободного падения .
Трение отсутствует.
1. Найдите ускорение груза массой . Ответ укажите в , округлив до целого
числа.
2. Куда направлено ускорение тела массой ? 1 – вверх, 2 – вниз.
3. Чему равно натяжение нити? Ответ укажите в ньютонах, округлив до целого числа
(Всеросс., 2020, ШЭ, 10)
Источники:
1) Так как нить нерастяжима, то
Продифференцировав 2 раза, получим
Пусть сила натяжения нити равна , она всюду одинакова. Тогда
|
Тогда из (1)
Подставив в (2)
|
Вычитая, получим
2) Мы выбрали ускорение, направленное вверх (см. рис.), получилось положительное значение,
следовательно, вы выбрали верно и оно направлено вверх – (1).
3) Силу натяжения нити можно найти из второго закона Ньютона
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В системе, показанной на рисунке, массы грузов равны соответственно ,
. Первоначально систему удерживают, затем отпускают. Грузы приходят в движение.
Начальные скорости всех грузов нулевые. Ускорение свободного падения . Массы блоков и
нитей по сравнению с массой грузов пренебрежимо малы. Нерастяжимые нити свободно скользят по
блокам.
1. Найдите скорость груза 1 в тот момент, когда груз 2 опустится на .
2. Найдите силу натяжения нити, на которой подвешен груз 2.
(«Физтех», 2019, 9)
Источники:
1) Так как нить нерастяжима, то
Продифференцировав
Продифференцировав ещё раз, получим
Пусть сила натяжения нити равна , она всюду одинакова. Тогда
|
Тогда из (2)
Ускорения грузов 1 и 3 равны, тогда
Так как , то , если груз 2 опустится на
Значит, грузы 1 и 3 тоже изменили положение на . Аналогично, для скоростей .
Запишем закон сохранения энергии
2) Так как сначала система находилась в покое, то их скорости равны 0, уравнение кинематики для второго груза на ось
Откуда
Для второго груза
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На легкой нерастяжимой веревке с помощью трех блоков подвешены два груза. Блоки легкие,
вращаются без трения, веревка по ним не скользит. Один из концов веревки закреплен на шкиве
выключенной лебедки. Удерживая груз 2 на месте, включают лебедку и сразу после этого груз 2
отпускают. Лебедка вытягивает веревку с постоянной скоростью . Спустя какое время
скорости грузов окажутся равны по модулю? Соотношение масс грузов . Ускорение
свободного падения .
(«Покори Воробьёвы горы!», 2019, 7–9)
Источники:
Направим координатную ось вертикально вниз.
Сумма длин вертикальных отрезков нити в процессе движения системы должна убывать со скоростью вытягивания веревки лебедкой. Поэтому координаты грузов должны удовлетворять соотношению
Следовательно, изменения этих координат за малое время связаны соотношением
которое означает, что в любой момент времени проекции скоростей этих тел на ось связаны
Движение, согласно условию, начинается таким образом, что при скорость второго груза . Значит, Рассуждая аналогично, замечаем, что проекции ускорений грузов также связаны: Кроме того, эти ускорения удовлетворяют уравнениям движения, следующим из 2 закона Ньютона:
|
Здесь – сила натяжения нити. С учетом, что , получим
|
Откуда ускорение
А
Законы изменения скоростей грузов записываются в виде
Условие выполняется при
(Официальное решение ПВГ)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На гладкой горизонтальной поверхности находятся два тела с массами и . К телам
прикреплены невесомые блоки, и они связаны невесомой и нерастяжимой нитью так, как показано на
рисунке. К концу нити прикладывают постоянную силу . Найти ускорение конца нити.
(«Росатом», 2011, 9 )
Источники:
Предположим, что в результате движения левый брусок (а значит, и закрепленный на нём конец нити) сместился на вправо, а правый – на влево. Ввиду нерастяжимости нити её незакреплённый конец сместился на расстояние
на – нижний коней, прикрепленный к , – нижний блок, – верхний
блок.
Продифференцировав уравнение два раза по времени и обозначив ускорение незакреплённого конца
нити за , получим его связь с ускорениями брусков.
Запишем второй закон Ньютона на ось
|
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Через блоки переброшена легкая нерастяжимая веревка, к одному концу которой прикреплено тело
массой , второй конец которой прикреплен к горизонтальному потолку. Левый блок имеет массу
, правый – , причем масса блоков практически сосредоточена в их осях. Систему удерживают, а
в некоторый момент времени веревку 1 перерезают и предоставляют систему самой себе. Найти
ускорения тел после этого.
(«Росатом», 2020, 10)
Источники:
Силы, действующие на тела и блоки, показаны на рисунке, причем модули сил и равны друг другу (поскольку это силы натяжения одной и той же безмассовой нити). Второй закон Ньютона для левого тела, верхнего блока и системы «нижний блок-тело» в проекциях на ось, направленную вертикально вниз, дает
|
где , и ускорения левого груза, верхнего блока и системы нижний блок-тело соответственно. Поскольку первое и третье уравнение отличаются только множителем 2, то . Поэтому только два уравнения системы независимы
|
Установим теперь связь ускорений. Во-первых, очевидно, что и левое тело, и система «нижний блок-тело» движутся вниз (если бы их ускорения были бы разные, одно из них могло бы двигаться вверх; одновременно двигаться вверх они не могут). Далее. Поскольку у левого тела и системы «нижний блок-тело» одинаковые ускорения, они движутся совершенно одинаково, имеют в любые моменты одинаковые скорости и совершают одинаковые перемещения за одинаковые интервалы времени. Поэтому, если за некоторый интервал времени левое тело переместилось вниз на некоторую величину , то система «нижний блок-тело» переместилось вниз на такую же величину. Для таких перемещений потребуется лишняя нить длиной . Эта нить может освободиться только за счет перемещения верхнего блока, который должен, таким образом, сместиться вниз на величину . А следовательно, для ускорений имеет место связь
Тогда из (1) и (2)
(Официальное решение Росатом)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Механическую систему, состоящую из двух невесомых подвижных блоков, двух тел массой и и
невесомых и нерастяжимых нитей, удерживают в определенном положении (см. рисунок). В некоторый
момент времени систему отпускают. Найти ускорения тел.
(«Росатом», 2020, 11)
Источники:
Силы, действующие на тела системы и на блоки, показаны на рисунке (из которого ясны все обозначения).
Второй закон Ньютона для тел в проекциях на ось, направленную вертикально вниз, дает
|
Установим условия связи ускорений и сил натяжения. Поскольку левый блок – невесом . Аналогично из условия невесомости второго блока . Отсюда . Для установления связи ускорений рассмотрим малое перемещение тела . Пусть это тело переместилось вниз на некоторую величину . Тогда на эту же величину переместится вниз и левый блок. Для такого перемещения слева и справа от него потребуются два лишних кусочка веревки длиной . А для этого правый блок должен опуститься вниз на величину . Для такого его перемещения слева и справа от него потребуются два кусочка веревки длиной . Следовательно, тело переместится вниз на величину . Это значит, что перемещение тела в любые интервалы времени вчетверо больше перемещения тела . Поэтому его скорость в любой момент времени вчетверо больше скорости второго тела. А, следовательно, такое же соотношение имеет место и для ускорений
В результате система уравнений (1) принимает вид
|
То что ускорение второго тела оказалось больше ускорения свободного падения подтверждает факт натянутости всех нитей – в противном случае тела падали бы с ускорением .
(Официальное решение Росатом)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Имеется система из трех тел с массами , и и двух невесомых блоков,один из которых
неподвижный, второй – подвижный. Тела и привязывают к веревке, которую пропускают через
блоки, тело привязывают к оси подвижного блока. До некоторого момента тела удерживают, а
затем отпускают. Найти ускорения тел.
(«Росатом», 2020, 11)
Источники:
На каждое тело действуют сила тяжести и сила натяжения веревки.
Поэтому второй закон Ньютона для всех тел в проекции на ось, направленную вертикально вниз, дает
|
Здесь , и – ускорения тел массой , и соответственно, – сила натяжения веревки, привязанной к телам массой и , – сила нятяжения веревки, привязанной к телу . Умножая первое уравнение на 2 и складывая его со вторым, а последнее уравнение на 2 и вычитая из него второе уравнение, получим уравнения, в которые не входит сила натяжения веревки
|
Получим уравнение связи ускорений. Если тело совершило перемещение , а тело – перемещение , направленное вниз, то слева от неподвижного блока потребуется кусок веревки длиной и освободится кусок веревки длиной . Поэтому тело совершит перемещение , направленное вертикально вниз. А это значит, что
Решая систему уравнений (1), (2), получим
Все ускорения получились положительными, что означает, что направления ускорений были
выбраны верными – все тела движутся вниз.
(Официальное решение Росатом)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На шероховатой горизонтальной поверхности покоятся два бруска с одинаковой массой .
Коэффициенты трения брусков о поверхность равны и . К брускам привязана верёвка, которая
переброшена через лёгкий горизонтально расположенный блок (см. рисунок; вид сверху). Какое
минимальное горизонтальное ускорение нужно сообщить блоку, чтобы оба бруска стронулись с
места?
(«Росатом», 2020, 9–10 )
Источники:
Понятно, что при небольшом ускорении блока сила натяжения веревки будет небольшой и сможет сдвинуть только тело с меньшим трением. Второй же груз в этом случае будет стоять. При увеличении ускорения блока будет возрастать сила натяжения нити, и при определенном ускорении блока тело с большим трением сдвинется. Найдем этот момент, постепенно увеличивая ускорение блока. Итак, пусть ускорение блока таково, что тело с меньшим трением движется, а с большим – покоится. Тогда второй закон Ньютона для движущегося тела в проекциях на ось, направленную вдоль ускорения блока дает
где – ускорение движущегося тела. Очевидно, что ускорение тела вдвое превосходит ускорение блока . Действительно, если блок перемещается на некоторую величину , то с той стороны от блока, где находится покоящееся тело, требуется лишний кусочек веревки длиной . Поэтому веревка с другой стороны становится короче на величину . Кроме того, блок, от которого начинается веревка, привязанная ко второму телу, тоже перемещается на . Следовательно, перемещение второго тела составляет , т.е. скорость второго тела вдвое больше скорости блока в любой момент времени. Поэтому и ускорение второго тела больше ускорения блока в два раза. В результате из (1) имеем
Из формулы (2) следует, что при малом ускорении блока сила , больше , но меньше . А поскольку при увеличении ускорения блока сила возрастает, при некотором ускорении второе тело сдвинется с места. Это произойдет, если
Тогда минимальное ускорение
(Официальное решение Росатом)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите модуль и направление ускорения, с которым нужно двигать конец нити для того, чтобы правый груз, имеющий
массу , оставался неподвижным. Массой нити и блоков можно пренебречь. Нить нерастяжима, трение
отсутствует. Ускорение свободного падения принять равным .
(Всеросс., 2018, МЭ, 10 )
Источники:
Из условия равновесия груза, имеющего массу , следует, что . Тогда второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось , направленную вверх, для второго тела, имеющего массу , имеет вид:
откуда
Знак минус означает, что груз будет ускоряться вниз. Из условия нерастяжимости нити следует, что конец нити необходимо опускать с таким же ускорением направленным вниз. (Официальное решение ВсОШ)
Критерии оценивания выполнения задачи | Баллы |
Записано условие равновесия груза | 1 |
Учтено постоянство силы натяжения вдоль всей нити | 1 |
Записан второй закона Ньютона для тела | 3 |
Найдено ускорение тела | 1 |
Использована кинематическая связь для ускорений тела и конца нити | 2 |
Найдено ускорение конца нити | 2 |
Максимальный балл | 10 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В системе, показанной на рисунке, неподвижный блок прикреплён к потолку комнаты, а все грузы
удерживают неподвижными так, чтобы отрезки лёгкой нерастяжимой нити, не лежащие на блоках,
были вертикальны. Грузы массами и подвешены к осям блоков на жёстких лёгких стержнях.
Все блоки лёгкие и могут вращаться вокруг своих осей без трения. Определите ускорение груза массой
после одновременного отпускания всех грузов. Ускорение свободного падения равно .
(МОШ, 2009, 9)
Источники:
Запишем Второй закон Ньютона на вертикальную ось для грузов:
Уравнение кинематических связей, связанное с нерастяжимостью нити:
где - длина нитей на блоках, причем .
Т.к.
Путем дифференцирования получаем
В итоге получаем
Тогда
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Имеется неподвижных и подвижных блоков, через которые переброшена невесомая, нерастяжимая веревка (см. рисунок). К осям подвижных блоков прикреплены тел массой , к концам веревки – тела массой и .
Найти величину и направление ускорения самого левого тела.
(«Росатом», 2019, 11)
Источники:
Пусть сила натяжения веревки, охватывающей все блоки, и к одному концу которой привязан груз , а к другому – , равна . Тогда силы натяжения веревок, привязанных к осям нижних блоков, равны . Поэтому второй закон Ньютона для всех наших тел дает:
|
Из второго-третьего уравнений видим, что уравнения второго закона Ньютона для нижних тел и левого тела совпадают, поэтому они имеют одинаковые ускорения . На левое тело действует вдвое меньшая сила натяжения (при той же силе тяжести), поэтому его ускорение будет направлено вниз, а ускорение остальных тел – вверх. Поэтому второй закон Ньютона для левого тела и всех остальных тел дает
|
где и ускорения самого левого и всех остальных тел соответственно. Найдем связь ускорений тел. Пусть нижние тела и правое тело поднялись за некоторый малый интервал времени вверх на величину . Тогда слева появится лишний кусок веревки длиной
И, следовательно, левое тело опустится вниз на величину . Поэтому и его ускорение будет в раз больше ускорения остальных тел: . В результате из системы уравнений (1) находим
(Официальное решение Росатом)
Критерии оценивания выполнения задачи | Баллы |
Записан второй закон Ньютона | 2 |
Записан связь между ускорениями тел | 2 |
Расписаны перемещения тел | 2 |
Выражена искомая величина | 2 |
Представлен правильный ответ | 2 |
Максимальный балл | 10 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Система грузов (см. рисунок) с массами и сначала находится
в покое, трение отсутствует, а массы блоков и нитей пренебрежимо малы. Затем к грузу
прикрепили довесок , к грузу – довесок , и систему
предоставили себе самой. В каком направлении и с какими ускорениями станут двигаться грузы?
(Всеросс., 1998, ОЭ, 9)
Источники:
Нить нерастяжима, следовательно, сила натяжения по всей длине одинакова. Пусть , . Для грузов запишем систему уравнений:
|
Запишем уравнение, связывающее между собой ускорения грузов. Ускорение среднего блока, равное ускорению второго груза, равно полусумме ускорений частей нити слева и справа от него, которые в свою очередь равны ускорениям других двух грузов. Тогда:
У нас есть четыре неизвестных , , , и четыре уравнения. Решая их, находим
Следовательно, первый груз останется в покое, второй будет двигаться вверх, а третий – вниз.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В системе, изображённой на рисунке, определите ускорения груза и двух одинаковых блоков 1 и 2. Нить
невесома и нерастяжима, массы блоков пренебрежимо малы по сравнению с массой груза , трения
нет. Ускорение свободного падения известно.
(МОШ, 2016, 9)
Источники:
Для определения ускорения груза массы блоков можно принять равными нулю (так как массы блоков пренебрежимо малы по сравнению с массой груза ). Тогда, записывая второй закон Ньютона, например, для 1 блока, получаем, что натяжение нити в системе равно нулю (на самом деле, оно очень маленькое, гораздо меньше чем ). Следовательно, груз вместе с нижним блоком падают с ускорением . Записав длину нити и продифференцировав уравнение по времени дважды, получаем уравнение кинематической связи для ускорений:
где – проекция ускорения 1 блока, – проекция ускорения 2 блока, – проекция ускорения
нижнего блока (ось направлена вниз).
У нас получается одно уравнение и две неизвестных. Как же разрешить возникшую проблему?
Необходимо вспомнить, что хоть блоки в системе и очень лёгкие, все же они имеют некоторую массу, а,
значит, и натяжение в системе не совсем равно нулю. Тогда запишем 2-й закон Ньютона для 1 и 2
блоков:
|
где – массы 1 и 2 блоков (блоки по условию задачи одинаковые, а, значит, массы у них равны), – натяжение нити (нить невесома, трения нет, следовательно, натяжение во всей нити одинаково). Решая систему из трёх уравнений, получаем:
(Официальное решение МОШ)
Критерии оценивания выполнения задачи | Баллы |
Записан второй закон Ньютона | 3 |
Записана связь между ускорениями | 3 |
Выражена искомая величина | 2 |
Представлен правильный ответ | 2 |
Максимальный балл | 10 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В системе двух тел с массами и , связанных нерастяжимой и невесомой нитью, второй конец
которой прикреплён к потолку, и двух невесомых блоков (см. рисунок), ускорения блоков известны и
равны и . Какими силами нужно действовать на блоки?
(«Росатом», 2017, 11)
Источники:
Пусть сила натяжения верхней нити (охватывающей блок, движущийся с ускорением ) , равна , второй нити – . Тогда второй закон Ньютона для грузов дает
|
Найдем связь ускорений грузов с ускорением блоков. Пусть нижний блок опустился на . Тогда верхний блок поднимется на (его ускорение в два раза больше). Очевидно, что тело массой переместится на , тело массой поднимется на . Поэтому ускорение тела равно и направлено вниз, тела – и направлено вверх. Поэтому система уравнений (1) принимает вид
|
Отсюда
|
Ну а поскольку блоки невесомы, то силы, которым нужно действовать на блоки, равны удвоенным силам натяжения нитей:
(Официальное решение Росатом)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
С каким и в какую сторону направленным ускорением нужно двигать средний блок, чтобы левый груз,
имеющий массу , оставался неподвижным? Массой нити и блоков можно пренебречь. Нить
нерастяжима, трение отсутствует. .
(МОШ, 2018, 10 )
Источники:
Пусть – масса правого груза. Чтобы левый груз оставался в покое, натяжение нити должно равняться . Тогда из второго закона Ньютона для правого груза найдём с каким ускорением он будет двигаться:
Ускорение блока равно полусумме ускорений частей нити слева и справа от него. Поскольку левый конец нити неподвижен, средний блок должен двигаться вниз с ускорением
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Если приложить силу к телу массой (рис. 1), то оно начнёт двигаться с ускорением
. С каким ускорением придёт в движение это же тело, если силу приложить к
телу массой (рис. 2)? Тела находятся на гладкой горизонтальной поверхности. Массой блока и
нерастяжимых нитей можно пренебречь.
(МОШ, 2017, 10)
Источники:
Ускорение блока равно полусумме ускорений частей нити слева и справа от него. Из условия нерастяжимости нити следует, что ускорение блока всегда в два раза меньше ускорения тела массой . В первом случае второй закон Ньютона для тела имеет вид:
где – ускорение блока, – сила натяжения переброшенной через блок нити.
Для тела массой второй закон Ньютона выглядит так:
Отсюда
Аналогично для второго случая:
Откуда
Окончательно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Изображённая на рисунке система состоит из грузов массами и , двух неподвижных и одного
подвижного блока. Не лежащие на блоках участки нитей вертикальны. Определите ускорения грузов,
считая, что груз массой при движении сохраняет горизонтальное положение, нити невесомы и
нерастяжимы, блоки лёгкие, трения нет.
(МОШ, 2012, 9 )
Источники:
Найдем длину нити
Продифференцируем
Так как груз массой сохраняет горизонтальное положение, то . Откуда
Опять дифференцируем
Перейдем от проекций к модулям
Запишем второй закон Ньютона
|
Складываем
А ускорение груза массой направлено противоположно и равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите ускорение груза массой в системе, изображённой на рисунке. Нить невесома и
нерастяжима, блоки невесомы, трение отсутствует. Чему равна реакция со стороны нити, действующая
на неподвижный верхний блок?
(МОШ, 2017, 9)
Источники:
Запишем 2-й закон Ньютона в проекциях на оси и :
где – силы реакции со стороны нити, – проекция ускорения верхнего груза массой , – проекция ускорения груза массой проекция ускорения нижнего груза массой . Запишем уравнение кинематической связи ускорений грузов:
Решая систему из 4-х уравнений, окончательно получаем:
Соответственно
(Официальное решение МОШ)
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В системе, изображённой на рисунке, массы всех трёх грузов одинаковы и равны . Нить,
соединяющая грузы 1 и 2, невесома и нерастяжима; её участки, не лежащие на блоках, вертикальны или
горизонтальны; блоки невесомы, трения нет. Груз 3 движется по горизонтальной плоскости, не
опрокидываясь. Найдите ускорения всех трёх грузов. Ускорение свободного падения равно .
(МОШ, 2006, 10)
Источники:
При условиях задачи сила натяжения нити везде одинакова и равна . Груз 1 будет двигаться по вертикали с ускорением , груз 3 – по горизонтали с ускорением , груз 2 – по вертикали с ускорением и вместе с грузом 3 по горизонтали с ускорением = .
Введём систему координат, как показано на рисунке, и запишем
При написании последнего уравнения мы учли, что силы давления грузов 2 и 3 друг на друга – внутренние для системы этих грузов, так что они движутся только под действием силы натяжения нити . Из условия нерастяжимости нити
Следует уравнение кинематической связи
А из третьего уравнения системы – что
Подставляя эти выражения в уравнение кинематической связи, получаем:
Следовательно
Отсюда находим величину ускорения второго груза
Вектор ускорения второго груза направлен вниз под углом
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Блок склеен из двух дисков с радиусами и , насаженных на одну и ту же горизонтальную ось, и
подвешен к горизонтальному потолку. На блоки намотана невесомая нерастяжимая нить, к
которой прикреплён груз массой , как это показано на рисунке. Нить охватывает также
нижний блок, размеры которого подобраны так, что все отрезки нити вертикальны. Второй
груз массой прикреплён к оси нижнего блока. Найти ускорения тел. Блоки невесомы.
(«Росатом», 2017, 11 )
Источники:
Силы, действующие на тела, показаны на рисунке. Второй закон Ньютона для обоих тел дает
где и – ускорения тел с массами и соответственно (остальные обозначения очевидны из рисунка). Или в проекциях на ось , направленную вертикально вниз
Установим условия связи между неизвестными. Поскольку нижний блок не имеет массы, а на него действуют две силы , направленные вверх, и сила , направленная вниз, то . Верхний блок вращают силы с плечом и сила с плечом . А поскольку он также не имеет массы, то его можно вращать практически нулевым моментом. Поэтому
В результате система уравнений (*) принимает вид
Найдем теперь связь ускорений. Во-первых, ясно, что ускорения тел будут направлены противоположно. Действительно, если тело опускается, то нить сматывается с маленького блока, но одновременно наматывается на большой блок. А поскольку блоки склеены, они поворачиваются на один и тот же угол, и на большой блок намотается больше веревки, и нижний блок поднимется. Поэтому если тело спустилось на , на большой блок намотается , веревка станет короче на , нижний блок поднимется на . Следовательно, если ускорение тела равно и направлено вниз, ускорение тела равно и направлено вверх. И наоборот. Поэтому
В результате система уравнений (**) примет вид
Умножая первое уравнение системы (***) на 2 и складывая уравнения, найдем, что ускорение тела с массой направленое вниз и равное
А ускорение тела с массой направлено вверх и равно
(Официальное решение Росатом)